Enunciado

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

22.

A = 3       3       1 1       0 - 4 1 - 3       5

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que a segunda coluna é composta por uma entradas com valor zero ( a 22 ) . Logo não precisaremos calcular o cofator correspondente a essa entrada ( C 22 ) .

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32

det ⁡ A = a 12 C 12 + 0 × C 22 + a 32 C 32

Logo:

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 32 C 32

Passo 2

Agora que sabemos que o determinante dessa matriz é simplesmente, det ⁡ A = a 12 C 12 + a 32 C 32 , vamos encontrar o C 12   e C 32 para calcular o valor do determinante.

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 1 - 4 1       5 = - 1 × 5 - - 4 × 1 = - 5 - - 4 = - 9

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × 3       1 1 - 4 = - 3 × - 4 - 1 × 1 = - - 12 - 1 = 13

det ⁡ A = a 12 × - 9 + a 32 × 13

det ⁡ A = 3 × - 9 + - 3 × 13 = - 27 - 39 = - 66

Resposta

det ⁡ A = - 66

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Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H
Para as matrizes do exerc��cio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .
Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .
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