Enunciado

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,   - 4,3 ) .

Passo 1

O que devemos fazer é trabalhar a ideia de distância entre o plano π 1 e os pontos. E compará-las, visto que queremos que os planos sejam equidistantes.

Passo 2

Vamos tomar um ponto qualquer de do nosso plano, ( x , y , z ) . Assim a distância entre o plano e o primeiro ponto é

d 1 = x + 4 2 + y - 2 2 + ( z - 1 ) 2

E para o segundo ponto

d 2 = ( x - 2 ) 2 + y + 4 2 + z - 3 2

O que queremos é que d 1 = d 2 , assim

x + 4 2 + y - 2 2 + ( z - 1 ) 2 = ( x - 2 ) 2 + y + 4 2 + z - 3 2

Do lado esquerdo temos

x 2 + 8 x + 16 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 - 2 z + 1

E do lado direito

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 8 y + 16 + z 2 - 6 z + 9

E com isso ficamos com

8 x + 16 - 4 y + 4 - 2 z + 1 = - 4 x + 4 + 8 y + 16 - 6 z + 9

12 x - 12 y + 4 z - 8 = 0

Simplificando

4 x - 4 y + z - 2 = 0

Resposta

4 x - 4 y + z - 2 = 0

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