Enunciado

52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .

(b) r : x - y + z = 0 = 2 x + y - z - 3 ; π : y - z = 4

Passo 1

Fala aii... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo r um vetor diretor da reta e n um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:

- r ⋅ n ≠ 0 , então r é transversal a π . Daí temos: d r , π = 0

- r ⋅ n = 0 , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:

-ou r pertence a π , então d r , π = 0 . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.

-ou r é paralela a π , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto P x 0 , y 0 , z 0   qualquer da reta r e calcular a distância desse ponto até o plano π : a x + b y + c z + d = 0   com a fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Então bora lá fazer essa marmota...

Passo 2

Vamos começar colocando a nossa reta na forma paramétrica.

Repara só que:

x - y + z = 0

x = y - z

E substituindo na outra:

2 x + y - z - 3 = 0

2 y - z + y - z - 3 = 0

y - z = 1

Isso significa que x é constante e igual a 1, beleza?

Então vamos brincar de parâmetro só com y e z . Chamando:

z = λ

Daí vamos ter:

y - z = 1

y - λ = 1

y = 1 + λ

E a equação paramétrica fica:

x = 1 y = 1 + λ z = λ

Passo 3

Bom... Já temos o vetor diretor da reta, né? A gente pega o que estiver na frente do parâmetro:

r = 0,1 , 1

E pro vetor normal ao plano a gente pode só pegar o que estiver na frente das variáveis:

n = 0,1 , - 1

Fazendo o produto interno:

r ⋅ n = 0,1 , 1 ⋅ 0,1 , - 1

r ⋅ n = 0 0 + 1 1 + 1 - 1

r ⋅ n = 0

Então descartamos a possibilidade da reta ser transversal ao plano.

Vamos, então, pegar um ponto qualquer da reta. Pode ser quando λ = 1 :

x = 1 y = 2 z = 1

Ficamos com o ponto P 1,2 , 1 .   Substituindo-o na equação do plano:

y - z = 4

2 - 1 = 4

1 ≠ 4

Então ele não pertence ao plano.

Passo 4

Só sobrou a última possibilidade, né? E a que dá mais trabalho hahaha

Vamos usar o mesmo ponto do passo 3, só porque já calculamos, mas poderia ser qualquer outro.

P 1,2 , 1

Sendo a equação do plano π : y - z - 4 = 0 e Usando a fórmula pra calcular a distância:

d P , π = 0 1 + 1 2 + - 1 1 + - 4 0 2 + 1 2 + - 1 2

d P , π = - 3 2

Tirando o módulo:

d P , π = 3 2

Ufaaa... Acabamos essa, mas desanima não. Bora pra próxima...

Resposta

d P , π = 3 2

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Achar a distância da reta r ao plano π nos casos: r : x = 3 y = 4 π : y = 0
Achar a distância da reta r ao plano π nos casos: r : x = 4 + 3 ty = - 1 + t z = t π : x - y - 2 z + 4 = 0