Enunciado

52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .

(d) r   é o eixo das abscissas ; π : y + z = 2

Passo 1

Fala aii... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo r um vetor diretor da reta e n um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:

- r ⋅ n ≠ 0 , então r é transversal a π . Daí temos: d r , π = 0

- r ⋅ n = 0 , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:

- r pertence a π , então d r , π = 0 . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.

- r é paralela a π , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto P x 0 , y 0 , z 0   qualquer da reta r e calcular a distância desse ponto até o plano π : a x + b y + c z + d = 0   com a fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Então bora lá fazer essa marmota...

Passo 2

Como ele diz que a reta é o eixo das abscissas, então já temos que z e y são constantes e iguais a zero.

Se a gente for representar na forma paramétrica:

x = λ y = 0 z = 0

Daí conseguimos pegar um vetor diretor da reta, que é pegando o que está multiplicando o parâmetro:

r = 1,0 , 0

E para um vetor normal ao plano só precisamos pegar o que está multiplicando as variáveis:

n = 0,1 , 1

Passo 3

Fazendo o produto interno:

r ⋅ n = 1,0 , 0 ⋅ 0,1 , 1

r ⋅ n = 1 0 + 0 1 + 0 1

r ⋅ n = 0

Então já não tem a possibilidade da reta ser transversal ao plano, né?

Vamos verificar se a reta pertence ao plano pegando um ponto P qualquer da reta e ver se pertence ao plano. Pegando λ = 1

x = λ y = 0 z = 0 ⇒     x = 1 y = 0 z = 0

Substituindo na equação do plano:

y + z = 2

0 + 0 = 2

0 ≠ 2

Aff... não pertence ao plano.

Passo 4

Só resta a última possibilidade, né? Vamos aproveitar o ponto do passo 3:

P 1,0 , 0

E calcular a distância dele até o plano π : y + z - 2 = 0   com a fórmula:

d P , π = 0 1 + 1 0 + 1 0 - 2 0 2 + 1 2 + 1 2

d P , π = - 2 2

Tirando o módulo:

d P , π = 2 2

d P , π = 1

Acabamoooos.. Next??

Resposta

d P , π = 1

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