Enunciado

ABCD é um paralelogramo, A B →   =   ( 4,1 , - 2 ) e A D →   =   ( 3,0 , - 1 ) .

  1. Decomponha A D →   numa soma de dois vetores x →   e y →   , com x →   paralelo a A B →   e y →   ortogonal a A B →   . Coloque x →   e y →   na figura.
  2. Determine a área do paralelogramo.

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Preparados para mais uma questão? Então bora lá!
  2. Como x →   é paralelo a A B → , então devemos ter uma proporcionalidade entre esses dois vetores. Isso pode ser escrito como

      x →     = m   A B → =   ( 4 m , m , - 2 m )  

    Por outro lado, y →   ortogonal a A B → , o que significa que o produto interno dos dois vetores é nulo. Assim, se considerarmos que y → = ( a , b , c ) , onde a , b , c são constantes a serem determinadas, obtemos

    y →   ⋅ A B →   = 4 a + b + c = 0

    Vamos reservar esse resultado para mais tarde.

    Outra informação importante do enunciado é que A D → deve ser uma soma de x →   e y →   , ou seja

    A D → = x →     +   y →   =   ( 4 m , m , - 2 m ) + ( a , b , c ) = ( 4   m + a , m + b , - 2 m + c ) = ( 3,0 , - 1 )

    Portanto,

    4 m + a = 3

    m + b = 0

    - 2 m + c = - 1

    Agora preste atenção no pulo do gato. Lembra daquele resultado do Passo 1? 4 a + b + c = 0 ? Então, vamos multiplicar a primeira equação acima por 4 , a segunda deixamos como está e a terceira multiplicamos por - 2 . Depois somamos as três equações e, em um determinado momento teremos 4 a + b + c que pode ser eliminado por ser igual a zero. Então, ficamos só com uma equação para m . Olha só:

    ( 4 m + a = 3 ) × 4 ⇒ 16 m + 4 a = 12

    m + b = 0

    ( - 2 m + c = - 1 ) × ( - 2 ) = 4 m - 2 c = 2

    Agora, somando as três equações, obtemos

    16 m + 4 a + m + b + 4 m - 2 c = 21 m + 4 a + b + c = 21 m = 12 + 0 + 2 = 14

    ⇒ m = 14 21 = 2 3

    Legal não é mesmo?

    Agora que sabemos o valor de m , podemos substituir no sistema de equações e obter as outras constantes:

    4 m + a = 3 ⇒ a = 3 - 4 m = 3 - 4 ⋅ 2 3 = 9 - 8 3 = 1 3

    m + b = 0 ⇒ b = - m = - 2 3

    - 2 m + c = - 1 ⇒ c = - 1 + 2 m = - 1 + 2 ⋅ 2 3 = 4 - 3 3 = 1 3

    Pronto, agora sabemos que

    x →     = 2 3   ( 4,1 , - 2 ) = 1 3   ( 8,2 , - 4 )

    y → = ( a , b , c ) = 1 3 ( 1 , - 2,1 )

    A figura com x →   e y →   está no enunciado da questão. Nesse caso, levamos em conta que x →   é paralelo a A B → enquanto y →   é perpendicular. Além disso, usamos os módulos dos vetores | x → |   = 64 + 4 + 16 9 = 28 3 ≈ 3,06 e | y →   | = 1 + 4 + 1 9 = 2 3 ≈ 0,816 .

    Passo 2

  3. Para descobrir a área do paralelogramo, só precisamos multiplicar a largura do paralelogramo por sua altura. A largura é justamente o módulo do vetor A B → , ou seja, 16 + 1 + 4 = 21 . A altura é um pouco mais complicada porque temos que saber o ângulo entre os vetores A B → e A D → . Na figura abaixo, vemos que

c o s   θ = h | A D → | ⇒ h = c o s θ | A D → |

Por outro lado, o ângulo entre A B → e A D → é dado pela fórmula

c o s   α   =   A B →   ⋅ A D → | A B → | | A D → | =   12 + 2 | A B → | | A D → | = 14 | A B → | | A D → |

Então, como θ = 90 º - α , temos

c o s θ = c o s   ( 90 º - α ) = c o s   90 º   c o s   α + s e n   90 º   s e n   α = s e n   α = 1 - c o s 2 θ

c o s θ = 1 - 14 | A B → | | A D → | 2

Então, a altura vai ter a seguinte expressão:

h = c o s θ | A D → | = | A D → | 1 - 14 | A B → | | A D → | 2 = | A D → | 2 - 14 | A B → | 2 = | A B → | 2 | A D → | 2 - 1 4 2 | A B → |

Finalmente, a área do paralelogramo será

A = | A B → | | A B → | 2 | A D → | 2 - 1 4 2 | A B → | = | A B → | 2 | A D → | 2 - 1 4 2 = 210 - 196 = 14

Resposta

  1. x →     = 2 3   ( 4,1 , - 2 ) = 1 3   ( 8,2 , - 4 )
  2. y → = ( a , b , c ) = 1 3 ( 1 , - 2,1 )

  3. A = 14

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