Enunciado

Achar a distância entre r 1 e r 2 nos casos:

r 1 : x = 3       y = 4

r 2 : e i x o   d o s   z

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r 1 , temos

x ,   y ,   z = ( 3 ,   4 ,   z )

x ,   y ,   z = 3 ,   4 ,   0 + ( 0 ,   0 ,   z )

Transformando z em parâmetro t :

r 1 : X = 3 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Agora, para r 2 , sabemos que essa reta é o eixo x , então com certeza ela passa pela origem O = ( 0 ,   0 ,   0 ) e seu vetor diretor é v → = ( 0 ,   0 ,   1 )

r 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

O vetor diretor de r 1 é u → = ( 0 ,   0 ,   1 ) e o de r 2 é v → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Além disso, um ponto de r 1 , pela sua equação, é A = ( 3 ,   4 ,   0 ) e um ponto de r 2 é B = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Cara, repara uma coisa, o vetor diretor das duas retas é o mesmo: ( 0 ,   0 ,   1 ) !!

Isso quer dizer que as nossas retas são paralelas, certo??

Agora temos que verificar se elas são paralelas distintas ou paralelas coincidentes, pra isso, vamos substituir o ponto A de r 1 na equação de r 2 pra vermos se ele pertence a ela.

Temos que a equação de r 2 é

r 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Substituindo o ponto A = ( 3 ,   4 ,   0 ) :

( 3 ,   4 ,   0 ) = 0 ,   0 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

( 3 ,   4 ,   0 ) = ( 0 ,   0 ,   t )

Opa, a igualdade acima não é verdadeira né? Afinal, não tem como 3 = 0 e 4 = 0 , logo, as retas não são coincidentes.

Então temos retas paralelas distintas!! Bora lá calcular a distância entre elas!!

Passo 3

Pra calcular a distância entre duas retas paralelas, primeiro vamos pegar um ponto qualquer de r 1 :

A = ( 3 ,   4 ,   0 )

Agora vamos encontrar um ponto genérico de r 2 a partir de sua equação:

r 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Temos, daí, que um ponto genérico é P = ( 0 ,   0 ,   t )

Aí temos o vetor

A P → = P - A = ( - 3 ,   - 4 ,   t )

Passo 4

Bom, queremos calcular a distância entre A e P tal que A P → seja perpendicular às retas, pois assim estaremos calculando a menor distância entre as duas retas.

Então, A P → deve ser perpendicular ao vetor diretor ( 0 ,   0 ,   1 ) das retas, ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores deve ser 0:

A P → . 0 ,   0 ,   1 = 0

- 3 ,   - 4 ,   t . 0 ,   0 ,   1 = 0

- 3.0 - 4.0 + t = 0

t = 0

Então, para que A P → seja perpendicular as retas, temos que ter t = 0 .

Substituindo esse valor de t em P :

P = ( 0 ,   0 ,   t )

P = 0 ,   0 ,   0

Coincidentemente encontramos o mesmo ponto que já está na equação de r 2 hehe e é esse ponto que vai estar à menor distância possível de A e então vamos calcular a distância entre eles :)

Passo 5

Temos A = ( 3 ,   4 ,   0 ) e P = ( 0 ,   0 ,   0 ) , vamos calcular a distância entre eles pela fórmula de distância entre pontos:

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 3 - 0 2 + 4 - 0 2 + 0 - 0 2

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 3 2 + 4 2

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 9 + 16

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 25

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 5

Resposta

5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 1 ,1 ,0B = 2 ,1 ,1s : X = - 1 , - 1 ,6 + λ ( 1 ,4 ,3 )
Mostre que a distância entre duas retas não paralelas r 1 : x , y , z = x 1 + t a 1 , y 1 + t b 1 , z 1 + t c 1er 2 : x , y , z = x 2 + t a 2 , y 2 + t b 2 , z 2 + t c 2 é d e t x 2 - x 1 y 2 - y 1 z
Qual é a distância da origem à reta 5 x - 2 y = 8 ?
Os vértices do triângulo ABC são A = 2,1 ,B = 1,4eC = 5,5 . Qual o comprimento da altura baixada de A sobre a base BC?