Enunciado

Achar a distância entre r 1 e r 2 nos casos:

r 1 : x = 3       y = 2

r 2 : x = 1       y = 4

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r 1 , temos

x ,   y ,   z = ( 3 ,   2 ,   z )

x ,   y ,   z = 3 ,   2 ,   0 + ( 0 ,   0 ,   z )

Transformando z em parâmetro t :

r 1 : X = 3 ,   2 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Agora, para r 2 , temos que

x ,   y ,   z = ( 1 ,   4 ,   z )

x ,   y ,   z = 1 ,   4 ,   0 + ( 0 ,   0 ,   z )

Trocando z por um parâmetro t :

r 2 :   X = 1 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

O vetor diretor de r 1 é u → = ( 0 ,   0 ,   1 ) e o de r 2 é v → = ( 0 ,   0 ,   1 )

Além disso, um ponto de r 1 , pela sua equação, é A = ( 3 ,   2 ,   0 ) e um ponto de r 2 é B = ( 1 ,   4 ,   0 ) .

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Cara, repara uma coisa, o vetor diretor das duas retas é o mesmo: ( 0 ,   0 ,   1 ) !!

Isso quer dizer que as nossas retas são paralelas, certo??

Agora temos que verificar se elas são paralelas distintas ou paralelas coincidentes, pra isso, vamos substituir o ponto A de r 1 na equação de r 2 pra vermos se ele pertence a ela.

Temos que a equação de r 2 é

X = 1 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Substituindo o ponto A = ( 3 ,   2 ,   0 ) :

( 3 ,   2 ,   0 ) = 1 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

( 3 ,   2 ,   0 ) = 1 ,   4 ,   0 + ( 0 ,   0 ,   t )

( 3 ,   2 ,   0 ) = 1 ,   4 ,   t

Opa, a igualdade acima não é verdadeira né? Afinal, não tem como 3 = 1 e 2 = 4 , logo, as retas não são coincidentes.

Então temos retas paralelas distintas!! Bora lá calcular a distância entre elas!!

Passo 3

Pra calcular a distância entre duas retas paralelas, primeiro vamos pegar um ponto qualquer de r 1 :

A = ( 3 ,   2 ,   0 )

Agora vamos encontrar um ponto genérico de r 2 a partir de sua equação:

X = 1 ,   4 ,   0 + t . ( 0 ,   0 ,   1 )

Temos, daí, que um ponto genérico é P = ( 1 ,   4 ,   t )

Aí temos o vetor

A P → = P - A = ( - 2 ,   2 ,   t )

Passo 4

Bom, queremos calcular a distância entre A e P tal que A P → seja perpendicular às retas, pois assim estaremos calculando a menor distância entre as duas retas.

Então, A P → deve ser perpendicular ao vetor diretor ( 0 ,   0 ,   1 ) das retas, ou seja, o produto escalar entre esses dois vetores deve ser 0:

A P → . 0 ,   0 ,   1 = 0

- 2 ,   2 ,   t . 0 ,   0 ,   1 = 0

- 2.0 + 2.0 + t = 0

t = 0

Então, para que A P → seja perpendicular as retas, temos que ter t = 0 .

Substituindo esse valor de t em P :

P = ( 1 ,   4 ,   t )

P = 1 ,   4 ,   0

Coincidentemente encontramos o mesmo ponto que já está na equação de r 2 hehe e é esse ponto que vai estar à menor distância possível de A e então vamos calcular a distância entre eles :)

Passo 5

Temos A = ( 3 ,   2 ,   0 ) e P = ( 1 ,   4 ,   0 ) , vamos calcular a distância entre eles pela fórmula de distância entre pontos:

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 3 - 1 2 + 2 - 4 2 + 0 - 0 2

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 2 2 + - 2 2

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 4 + 4

d r 1 ,   r 2 = d A ,   P = 8

Resposta

8

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