Enunciado

Achar a distância da reta r ao plano pi nos casos:

r : x = 4 + 3 t y = - 1 + t z = t

pi : x - y - 2 z + 4 = 0

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que conferir se a reta r e o plano pi são paralelos ou transversais.

Para isso, vamos encontrar o vetor diretor de r e o vetor normal de pi e verificar o produto escalar entre eles: se for 0, r e pi são paralelos (já que r será ortogonal ao vetor que também é ortogonal ao plano); se for diferente de 0, r e pi são transversais ;)

Passo 2

Das equações paramétricas de r , temos:

(x , y , z) = ( 4 + 3 t , - 1 + t , t )

(x , y , z) = (4 , - 1 , 0) + ( 3 t , t , t )

Colocando o parâmetro t em evidência:

r : X = (4 , - 1 , 0) + t . ( 3 , 1 , 1 )

Então, um vetor diretor de r é ( 3 , 1 , 1 ) .

Agora vamos encontrar o vetor normal de pi , sabemos que dada uma equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

O seu vetor normal é dado pelos coeficientes que multiplicam x , y e z na sua equação, ou seja, ( a , b , c ) . No nosso caso, a equação do plano é

pi : x - y - 2 z + 4 = 0

Então, o vetor normal de pi é ( 1 , - 1 , - 2 ) hehe

Passo 3

Agora vamos verificar quanto vale o produto escalar entre o vetor diretor de r e o vetor normal de pi :

(3 , 1 , 1) . ( 1 , - 1 , - 1 )

3.1 + 1 . (- 1) + 1 . ( - 2 )

3 - 1 - 2

3 - 3

0

Opa, o produto escalar deu 0!! Então a reta r e o plano pi são paralelos!!

Para calcular a distância entre uma reta e um plano, sendo eles paralelos, vamos encontrar um ponto da reta e calcular sua distância até o plano utilizando a fórmula que conhecemos :)

Passo 4

Sabemos que a equação de r é

r : X = (4 , - 1 , 0) + t . ( 3 , 1 , 1 )

Para encontrarmos um ponto de r , basta arbitrarmos um valor para t . Por exemplo, se t = 0 (você pode arbitrar outros valores, no final a distância vai dar a mesma ok?):

X = (4 , - 1 , 0) + 0 . ( 3 , 1 , 1 )

E aí temos o ponto

P = ( 4 , - 1 , 0 )

Então já achamos um ponto pertencente a r uhuuu! Agora vamos calcular a distância desse ponto até o plano pi !!

Passo 5

Sabemos que a distância entre um ponto A = ( x , y , z ) e um plano pi ' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (A , pi ') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos o ponto P ( 4 , - 1 , 0 ) e o plano pi : x - y - 2 z + 4 = 0 , logo, a distância entre eles vai ser

d (P , pi) = (|1.4 - 1 . (- 1) - 2.0 + 4|)/(sqrt(1^2 + (- 1)^2 + ( - 2 ) ²))

d (P , pi) = (|4 + 1 + 4|)/(sqrt(6))

d (P , pi) = (9)/(sqrt(6))

E essa é a distância entre r e pi :D

Resposta

(9)/(sqrt(6))

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