Enunciado

Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3.

  1. B = 0,2 , 1
  2. B = 0,0 , 2
  3. B = 3,1 , 0

Passo 1

Vamos lá! Queremos construir uma reta s que dista 3 da reta r . Como estamos falando de distância entre retas, a análise da posição relativa se torna um fator fundamental.

Devemos nos questionar se as retas são paralelas distintas ou reversas. A resposta deste questionamento irá nos dizer qual fórmula devemos utilizar.

E como saberemos isso? A chave da questão está na seguinte pergunta: qual é a distância do ponto B para a reta r ?

Se d B , r = 3 , a reta pode ser tanto paralela distinta quanto reversa. Na grande realidade, não importa a direção da reta reversa, desde que ela esteja contida no plano paralelo a reta r e que contém o ponto B . Portanto, a solução é um plano paralelo a r e que contém B .

Se d B , r > 3 , não podemos ter o caso de retas paralelas, somente o de retas reversas.

E, por fim, se d B , r < 3 , o resultado será o conjunto vazio. Se buscamos a menor distância possível de uma reta para outra, automaticamente, temos que esta distância será menor que 3, então, não satisfará o nosso requisito.

Passo 2

Discutido o passo 1, vamos calcular esta distância entre a reta e o ponto B . Seja A = 3,2 , 1 um ponto pertencente a r , temos:

A B → = B - A = 3,1 , 0 - 3,2 , 1 = 0 , - 1 , - 1

A B → ∧ r → = i j k 0 - 1 - 1 0 1 2 = - 1 , 0 , 0

d B , r = | | A B → ∧ r → | | | | r → | | = 1 2 + 0 2 + 0 2 0 2 + 1 2 + 2 2 = 1 5

Eita! Como d B , r = 1 5 < 3 , não existe nenhum ponto X que satisfaça as condições da questão. Portanto, a solução é o conjunto vazio.

Resposta

A solução é o conjunto vazio.

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