Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do eixo das abscissas, está contida no plano π 1 : x + y = 0 e forma ângulo de 30 °   com o plano π 2 : y - z = 1 .

Passo 1

Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta r que contém algum ponto A que nós não conhecemos e possui um vetor diretor r → que também não conhecemos. Portanto, temos a seguinte reta:

r : X = A + λ r →

Inicialmente, iremos descobrir o vetor diretor desta reta. Depois, iremos estudar os casos para descobrir quem é este ponto A . Então, vamos dizer que o vetor diretor dessa reta r é dado por r → = a , b , c . Quem são essas incógnitas? Não sabemos ainda, mas iremos saber já!

Passo 2

A primeira informação (conter o ponto) já foi utilizada. Vamos agora utilizar outras informações dadas na questão. Começaremos pela relação da reta com os planos π 1 e π 2 .

Se uma reta está contida no plano, significa dizer que a reta satisfaz a equação do plano (Aqui é muito importante para o final da questão, lá na hora de descobrirmos o ponto, vamos repetir isto lá!). Continuando, o ângulo formado entre esta reta e este plano é igual a 0°. Mas não só isso, significa dizer também que o vetor normal do plano é ortogonal ao vetor diretor da reta!

Então, se temos dois vetores ortogonais, sabemos que o produto interno entre eles é igual a 0! Vamos utilizar esta relação agora. Portanto,

r → ⋅ n → 1 = 0

a , b , c ⋅ 1,1 , 0 = 0

a + b = 0

a = - b

Obtemos uma primeira relação, que nos diz que o nosso vetor possui o seguinte formato: - b , b , c .

Passo 3

Agora, vamos utilizar a relação do ângulo de r com o plano π 2 . Sabemos que o seno do ângulo entre a reta e o plano é dado pela seguinte expressão:

sen ⁡ θ = M ó d u l o   d o   p r o d u t o   i n t e r n o   d o   v e t o r   d a   r e t a   p e l o   v e t o r   n o r m a l   d o   p l a n o   P r o d u t o   d a   n o r m a   d o s   v e t o r e s   d i r e t o r   d a   r e t a   p e l o   n o r m a l   d o   p l a n o

Portanto,

sen ⁡ θ = sen ⁡ 30 ° = 1 2 = r → ⋅ n → 2 | | r → | | ⋅ | | n → 2 | |

Então, vamos desenvolver a relação acima. Portanto,

- b , b , c ⋅ 0,1 , - 1 - b 2 + b 2 + c 2 ⋅ 0 2 + 1 2 + - 1 2 = 1 2

b - c 2 b 2 + c 2 ⋅ 2 = 1 2

2 ⋅ b - c = 2 ⋅ 2 b 2 + c 2

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

4 ⋅ b - c 2 = 2 ⋅ 2 b 2 + c 2

4 ⋅ b 2 - 2 b c + c 2 = 4 b 2 + 2 c 2

4 b 2 - 8 b c + 4 c 2 = 4 b 2 + 2 c 2

2 c 2 - 8 b c = 0

2 c c - 4 b = 0

Temos duas soluções para a equação acima. c = 0 ou c = 4 b . Com isto, temos os dois possíveis seguintes vetores: - b , b , 0 = b - 1,1 , 0 e - b , b , 4 b = - 1,1 , 4 . Isto é:

r → 1 = - 1,1 , 0

r → 2 = - 1,1 , 4

Passo 4

Precisamos descobrir agora quem é o ponto A que a reta passa. A única informação que nos falta utilizar é a distância entre a reta e o eixo das abscissas, o qual é dado por:

O x : X = O + λ i →

O x : X = 0,0 , 0 + λ 1,0 , 0

Bom, como temos dois vetores, precisamos analisar ambos os casos. Mas, antes disto, vamos fazer uma análise que serve para os dois.

A posição relativa entre duas retas é um fator importante na hora de calcular a distância, pois devemos escolher uma equação apropriada para cada caso.

Contudo, para esta questão, não precisamos nos preocupar em analisar se as retas são paralelas distintas ou reversas, pois, considerando os dois vetores que obtivemos anteriormente, as duas retas só podem ser reversas!

Sabemos disto pois os vetores r → obtidos não são proporcionais ao vetor i → = 1,0 , 0 , o qual é o vetor diretor do eixo das abscissas.

Passo 5

Então, agora que sabemos que ambas as retas são reversas, vamos calcular a distância entre elas. Esta distância é dada por:

d r , O x = O A → , r → , i → | | r → ∧ i → | | = 1

Sendo O um ponto qualquer de O x . Escolheremos O = 0 , 0 , 0 pois é o ponto que utilizamos para descrever a reta.

Além disto, o nosso ponto A , que queremos descobrir, terá coordenadas A = x 0 , y 0 , z 0 , as quais iremos descobrir. Mas será que existe alguma restrição sobre o ponto A ? A resposta é sim! Lembram que no Passo 2 a gente disse que ia utilizar a informação mais tarde? Pois, é aqui!

Se a reta pertence ao plano, significa que seu ponto satisfaz a sua equação! Então, se o ponto A satisfaz a equação do plano π : x + y = 0 , temos:

x 0 + y 0 = 0

y 0 = - x 0

Portanto, A = x 0 , - x 0 , z 0 , já sabemos como é o jeito do nosso ponto A .

Feito esta consideração, vamos começar analisando o caso para o vetor r → 1 = - 1,1 , 0 . Portanto,

O A → = A - O = x 0 , y 0 , z 0 - 0,0 , 0 = x 0 , y 0 , z 0

O A → , r → , i → = x 0 - x 0 z 0 - 1 1 0 1 0 0 = - z 0

r → ∧ i → = i j k - 1 1 0 1 0 0 = 0 i + 0 j + - 1 k = 0 , 0 , - 1

Substituindo na relação de distância, temos:

d r , O x = O A → , r → , i → | | r → ∧ i → | | = - z 0 0 2 + 0 2 + 1 2 = - z 0 1 = 1

Portanto, obtemos que z 0 = ± 1 , e o nosso ponto será: A = x 0 , - x 0 , ± 1 . Temos então dois possíveis pontos. Mas, antes disto, vocês devem estar se questionando sobre este x 0 né? Então, ele fica livre pra vocês escolherem. Qualquer valor de x 0 satisfaz as nossas condições!

Então, nada melhor do que escolher x 0 = 0 , não é mesmo? Assim, temos A = 0,0 , ± 1 , e, consequentemente, temos as seguintes retas:

r 1 : X = 0,0 , 1 + λ - 1,1 , 0

r 2 : X = 0,0 , - 1 + λ - 1,1 , 0

Passo 6

Agora, vamos repetir todo o procedimento do passo anterior para o vetor r → 2 = - 1,1 , 4 . Portanto,

O A → = A - O = x 0 , y 0 , z 0 - 0,0 , 0 = x 0 , y 0 , z 0

O A → , r → , i → = x 0 - x 0 z 0 - 1 1 4 1 0 0 = - 4 x 0 - z 0

r → ∧ i → = i j k - 1 1 4 1 0 0 = 0 i + 4 j + - 1 k = 0 , 4 , - 1

Substituindo na relação de distância, temos:

d r , O x = O A → , r → , i → | | r → ∧ i → | | = - 4 x 0 - z 0 0 2 + 4 2 + 1 2 = - 4 x 0 - z 0 17 = 1

- 4 x 0 - z 0 = 17

Resolvendo a equação acima, obtemos duas possibilidades: z 0 = - 4 x 0 ± 17 . Então, A = x 0 , - x 0 , - 4 x 0 ± 17 .

Agora, acontece o mesmo que no passo anterior. Vamos escolher x 0 = 0 e então teremos A = 0,0 , ± 17 . Portanto, temos as seguintes retas:

r 3 : X = 0,0 , 17 + λ - 1,1 , 4

r 4 : X = 0,0 , - 17 + λ - 1,1 , 4

Resposta

r 1 : X = 0,0 , 1 + λ - 1,1 , 0

r 2 : X = 0,0 , - 1 + λ - 1,1 , 0

r 3 : X = 0,0 , 17 + λ - 1,1 , 4

r 4 : X = 0,0 , - 17 + λ - 1,1 , 4

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