Enunciado

Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

d) 3 - 2 1 0 2 0 0 0 0

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   3 - x - 2 1 0 2 - x 0 0 0 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 3 - x - 2 1 0 2 - x 0 0 0 - x

det = ( 3 - x ) ( 2 - x ) ( - x )

Igualando a zero e resolvendo:

( 3 - x ) ( 2 - x ) ( - x )   = 0

x = 0

x = 2

x = 3

Passo 2

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

3 - 2 1 0 2 0 0 0 0

Escalonando:

1 0 1 3 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a 0 3 a

Assim, temos

a(-1, 0, 3)

Substituindo x = 2 na matriz ( A - x I ):

1 - 2 1 0 0 0 0 0 - 2

Escalonando:

1 - 2 0 0 0 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 2 a a 0

Assim, temos

a(2, 1, 0)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

0 - 2 1 0 - 1 0 0 0 - 3

Escalonando:

0 1 0 0 0 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 0

Assim, temos

a(1, 0, 0)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, temos que:

P =   - 1 2 1 0 1 0 3 0 0 e D =   0 0 0 0 2 0 0 0 3

Resposta

P =   - 1 2 1 0 1 0 3 0 0

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