Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

c) 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   - x 0 1 0 - x 0 1 0 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ - x 0 1 0 - x 0 1 0 - x

det = - x 3 + x

Igualando a zero e resolvendo:

- x 3 + x   =   0

x = -1

x = 0

x = 1

Passo 2

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

1 0 1 0 1 0 1 0 1

Escalonando:

1 0 1 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a 0 a

Assim, temos

a(-1, 0, 1)

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

0 0 1 0 0 0 1 0 0

Escalonando:

1 0 0 0 0 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 a 0

Assim, temos

a(0, 1, 0)

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

- 1 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1

Escalonando:

1 0 - 1 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 a

Assim, temos

a(1, 0, 1)

Passo 3

Descobrimos, no passo anterior, os vetores bases:

V1 = (-1, 0, 1)

V2 = (0, 1, 0)

V3 = (1, 0, 1)

Para transformarmos esses vetores em bases ortonormais:

W 1 = V 1 V 1

W 1 = ( - 1 2 ,   0 , 1 2 )

W 2 = 0 ,   1 ,   0 já é ortonormal

W 3 = V 3 V 3

W 3 = ( 1 2 ,   0 , 1 2 )

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   0 - 1 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2 , que gera D =   0 0 0 0 - 1 0 0 0 1

Resposta

P =   0 - 1 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2

D =   0 0 0 0 - 1 0 0 0 1

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Verifique quais matrizes são diagonalizáveis: 1 4 1 - 2 b) 1 0 - 2 1 c) 1 1 - 2 4 0 4 1 - 1 4 d) 1 2 3 0 - 1 2 0 0 2
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:f) 2 2 3 1 2 1 2 - 2 1