Enunciado

Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vetor ( 2,2 , 2 ) , que distam 3 do ponto ( 1,1 , 1 ) . Estes planos são subespaços de R 3 ? Caso afirmativo, encontre base(s) ortonormal (is) para ele(s).

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = ∑ i = 1 3 x i 2           ( 2 )

Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!

Passo 2

Também precisamos introduzir aqui a equação do plano da seguinte maneira:

a x + b y + c z + d = 0           ( 3 )

Se considerarmos que a distância entre o ponto ( 1,1 , 1 ) e o plano é a menor possível, é possível utilizar um vetor ortogonal que ligue um ponto no plano à um ponto que está a distância de 3 . Você pode pensar como se houvesse um vetor de módulo 3 , por exemplo:

V = ( 1,1 , 1 ) → | | V | | = 3

que começa em um ponto que pertence ao plano e aponta até o ponto ( 1,1 , 1 ) . Isso é possível se considerarmos 2 planos, um que passe pela origem, P 1 = ( 0,0 , 0 ) , e outro que passe pelo ponto P 2 = ( 2,2 , 2 ) . Da definição (3), identificando que o vetor normal ao plano tem componentes V N = ( a , b , c ) = ( 2,2 , 2 ) , temos:

2 x + 2 y + 2 z + d = 0

Note que se o plano contém a origem, temos a seguinte equação:

2 × ( 0 ) + 2 × ( 0 ) + 2 × ( 0 ) + d = 0 → d = 0

e a equação toma a forma:

2 x + 2 y + 2 z = 0           ( 4 )

e se ele contém o ponto P 2 = ( 2,2 , 2 ) , temos:

2 × ( 2 ) + 2 × ( 2 ) + 2 × ( 2 ) + d = 0 → d = - 12

e a equação toma a forma:

2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0           ( 5 )

Apenas a equação (4) representa um subespaço, pois apenas ela contém o elemento neutro, a origem em nosso caso! Vamos trabalhar em achar uma base para esse plano, beleza?

Passo 3

Temos apenas a equação (4) e três parâmetros para encontrar, então vamos deixar dois deles livres, da seguinte maneira, y = α , e z = β , de forma que:

2 x + 2 α + 2 β = 0 → x = - α - β

e, portanto, temos que:

( - α - β , α , β )

que pode ser expandida em termos dos parâmetros como:

( - α - β , α , β ) = α ( - 1,1 , 0 ) + β ( - 1,0 , 1 )

Os nossos vetores de base linearmente independentes são da forma, V 1 = ( - 1,1 , 0 ) e V 2 = ( - 1,0 , 1 ) . No entanto, eles precisam ser ortogonais e normalizados, para isso vamos calcular as normas e checar se eles são ortogonais, beleza?

Passo 4

Para calcular a norma precisamos da definição (2), obtendo para cada um deles, o seguinte:

| | V 1 | | = ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 0 ) 2   = 2           ( 6 )

e também:

| | V 2 | | = ( - 1 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 1 ) 2   = 2           ( 7 )

E para checar se são ortogonais, precisamos aplicar a definição (1):

V 1 ⋅ V 2 = ( - 1 ) × ( - 1 ) + ( 1 ) × ( 0 ) + ( 0 ) × ( 1 ) = 1 ≠ 0

Portanto, não são ortogonais, nem normalizados, precisamos resolver isso. Uma boa forma é através do método de ortogonalização de Gram-Schmidt, saca só!

Passo 5

Vamos estabelecer o seguinte, V 1 = ( - 1,1 , 0 ) e V 2 = ( - 1,0 , 1 ) . Como nenhum deles é ortogonal podemos utilizar o método de Gram-Schmidt para calcular a nossa base ortogonal e para para isso vou introduzir a definição:

p r o j W V = ( V ⋅ W | | W | | 2 ) W           ( 8 )

que é a projeção ortogonal de um vetor V qualquer em um vetor não nulo W , e portanto, podemos formar uma base ortogonal encontrando sucessivos vetores tais que se:

W 1 = V 1           ( 9 )

temos que:

W 2 = V 2 - p r o j V 1 V 2 = V 2 - ( V 2 ⋅ V 1 | | V 1 | | 2 ) V 1           ( 10 )

Vamos encontrar então a nossa base, bora bora!

Passo 6

Temos que:

W 1 = V 1 = ( - 1,1 , 0 )

e portanto, temos que:

| | W 1 | | = | | V 1 | | = 2

calculando também que:

V 2 ⋅ W 1 = V 2 ⋅ V 1 = 1

Portanto, temos que:

W 2 = ( - 1,0 , 1 ) - 1 2 ( - 1,1 , 0 ) = ( - 1 2 , 1 2 , 1 )

Portanto, nossa base é tal que W 1 = V 1 = ( - 1,1 , 0 )   e   W 3 = ( - 1 2 , 1 2 , 1 ) . Vamos normalizá-la, e o problema acabou!

Passo 7

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

V N   =   V | | V | |           ( 11 )

Portanto, temos que:

W 1 N = 1 2 ( - 1,1 , 0 ) = 2 2 ( - 1,1 , 0 )

temos também que:

| | W 2 | | = ( - 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 / 4 + 1 / 4 + 1 = 3 / 2

W 2 N = 2 3 ( - 1 2 , 1 2 , 1 ) = 6 3 ( - 1 2 , 1 2 , 1 )

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W 1 N = 2 2 ( - 1,1 , 0 )   e   W 2 N = 6 3 ( - 1 2 , 1 2 , 1 )    

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