Enunciado

Ainda com a rotação dos eixos dada pela matriz ortogonal α m acima, quais são, nas novas coordenadas x ' , y ' , z ' , as equações dos seguintes planos?

d )   x + y + z = 0

Passo 1

Falaa, beleza?? A nossa ideia aqui é usar a matriz α m para achar o valor de um vetor qualquer ( x , y , z ) nas novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) e substituir cada valor (x, y e z) na equação da reta.

Passo 2

α m a → b   ∙ v a = v b

Ou seja, vamos usar a matriz α m que irá transformar um vetor em ( x , y , z ) para ( x ' , y ' , z ' )

2 3 - 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 - 2 3 x y z = x ' y ' z '

Daqui:

2 x 3 - 2 y 3 + z 3 = x ' x 3 + 2 y 3 + 2 z 3 = y ' 2 x 3 + y 3 - 2 z 3 = z '

Então:

x = 2 x ' + y ' + 2 z ' 3   ,   y = - 2 x ' + 2 y ' + z ' 3 ,   z = x ' + 2 y ' - 2 z ' 3

Passo 3

Substituindo esses valores na equação:

x + y + z = 0

2 x ' + y ' + 2 z ' 3 + - 2 x ' + 2 y ' + z ' 3 + x ' + 2 y ' - 2 z ' 3 = 0

x ' ( 2 - 2 + 1 ) 3 + y ' ( 1 + 2 + 2 ) 3 + z ' ( 2 + 1 - 2 ) 3 = 0

x ' + 5 y ' + z ' = 0

Resposta

x ' + 5 y ' + z ' = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .c) Mostre que tr( A t ) = tr(A)
Seja A uma matriz nxn. Mostre que se A A t = 0 , então A = 0. E se a matriz A for mxn, com m ≠ n?
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .b) Mostre que tr(αA) = αtr(A)
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i, j = 1,... n e que se A é anti-simétrica, então a i j =
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .d) Mostre que tr(AB) = tr(BA)