Enunciado

Em cada caso, obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de r e π , e identifique-o

  1. r : x - y = z = 0 π : x + y = 0
  2. r : x - z = y = 0 π : x - z + 2 = 0

Passo 1

Então, temos um ponto X de coordenadas X = x , y , z pertencente a E 3 . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos x que satisfazem:

d X , r = d X , π

Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a reta e ponto a plano. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.

Seja uma reta t : X = T + λ   t → , a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , t = | | X T → ∧ t → | | | | t → | |

E, seja π : a x + b y + c z + d = 0 a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Antes de partirmos para o cálculo da distância do ponto a reta, vamos obter uma equação vetorial da reta. Então, se

r : x - y = 0 z = 0 ⟹ r : x = y z = 0

Se a reta r : X = x , y , z , então, temos: x , y , z = x , x , 0 = x 1,1 , 0 . Então, se chamarmos x de λ (apenas uma simples mudança), temos a seguinte reta:

r : X = λ 1,1 , 0

Agora que já sabemos o vetor diretor da reta e um ponto R dela R = O = 0,0 , 0 , vamos calcular as distâncias. Começando por d X , r , temos:

X R → = R - X = 0,0 , 0 - x , y , z = - x , - y , - z

X R → ∧ r → = i j k - x - y - z 1 1 0 = z , - z , - x + y

d X , r = | | X R → ∧ r → | | | | r → | | = z 2 + - z 2 + - x + y 2 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2 z 2 + - x + y 2 2

Já para d X , π , temos:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

d X , π = x + y 1 2 + 1 2 + 0 2 = x + y 2

Passo 3

Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,

2 z 2 + - x + y 2 2 = x + y 2

2 z 2 + - x + y 2 = x + y

2 z 2 + - x + y 2 = x + y 2

2 z 2 + x 2 - 2 x y + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2

z 2 = 2 x y

Passo 4

Temos uma quádrica com termo misto! E agora? O que fazemos???

Calma, não se assustem, é simples. Vamos repetir todo o procedimento que fizemos com cônicas para eliminação do termo misto.

Mas aí vocês devem se questionar: e a variável z ? Simplesmente, vamos que esquecer que ela é uma variável. Por que não pensamos que ela é uma constante?

Portanto, temos a seguinte “cônica”:

2 x y - z 2 = 0

E para eliminar o termo misto, temos que fazer uma rotação:

Passo 5

Vamos fazer a rotação da cônica. Os seus únicos coeficientes são B = 2 e F = - z 2 .

Calculando c o t g 2 θ , temos:

c o t g 2 θ = A - C B = 0

Portanto, θ = 45 ° . Vamos descobrir agora quem são A ' e C ' referente ao novo sistema. Logo,

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B sen ⁡ 2 θ ⟹ A ' + C ' = 0 A ' - C ' = 2

Resolvendo o sistema acima, obtemos A ' = 1 e C ' = 1 . Portanto, temos a seguinte “cônica” rotacionada:

x 2 - y 2 - z 2 = 0

Mas calma! Não fica legal usarmos as mesmas letras após fazermos uma mudança no sistema de coordenadas. Então, vamos chamar

u 2 - v 2 = w 2

u 2 = w 2 + v 2

O que corresponde a quádrica cônica de rotação

Resposta

O lugar geométrico dos pontos de X = x , y , z ∈ E 3 que satisfazem x 2 - y 2 - z 2 = 0 é chamado quádrica cônica de rotação!

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