Enunciado

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = 3 1 1 3

Passo 1

Para achar a matriz P vamos calcular os autovalores e autovetores.

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 2

Primeiro vamos fazer o autovalor:

  A - λ I = 0

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 λ - 3 1 1 3

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 3 - 1 - 1 λ - 3

Então, temos:

λ - 3 - 1 - 1 λ - 3 = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 2 × 2 , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

λ - 3 ∙ λ - 3 - 1 = 0

λ 2 - 3 λ - 3 λ + 9 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 5

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = ( - 6 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 8

Δ = 4

Retornando em:

λ = - - 6 ± 4 2 ∙ 1

λ = 6 ± 2 2

Passo 6

Determinando os autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y

Logo:

A - λ I ∙ x y = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 3 - 1 - 1 λ - 3 ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v .

Passo 7

Para λ 1 = 2 :

2 - 3 - 1 - 1 2 - 3 ∙ x y = 0

- 1 - 1 - 1 - 1 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- x - y = 0 - x - y = 0

Temos que:

x = - y

Escrevendo:

v = x y

v 1 = - y y

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ - 1 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = - 1 1

Passo 8

Para λ 2 = 4 :

4 - 3 - 1 - 1 4 - 3 ∙ x y = 0

1 - 1 - 1 1 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

x - y = 0 - x + y = 0

Temos que:

x = y

Escrevendo:

v = x y

v 2 = y y

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = y ∙ 1 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = 1 1

Passo 9

Agora vamos normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 ( - 1 ) 2 + 1 2 ∙ - 1 1

u 1 = 1 2 ∙ - 1 1

u 1 = - 1 2 1 2

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 1 2 + 1 2 ∙ 1 1

u 2 = 1 2 ∙ 1 1

u 2 = 1 2 1 2

Passo 10

Para escrever P , colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas:

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 11

Determinando P - 1 A P .

Primeiro vamos determinar P - 1 , considerando ser uma matriz ortogonal:

P - 1 = P T

P T = - 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 12

Retornando para:

P - 1 A P

E como P é ortogonal, então:

P T A P

P T A P = - 1 2 1 2 1 2 1 2 ∙ 3 1 1 3 ∙ - 1 2 1 2 1 2 1 2

Passo 13

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os:

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 14

Calculando:

P T A P = - 1 2 1 2 1 2 1 2 ∙ 3 1 1 3 ∙ - 1 2 1 2 1 2 1 2

P T A P = - 1 2 ∙ 3 + 1 2 ∙ 1 - 1 2 ∙ 1 + 1 2 ∙ 3 1 2 ∙ 3 + 1 2 ∙ 1 1 2 ∙ 1 + 1 2 ∙ 3 ∙ - 1 2 1 2 1 2 1 2

P T A P = - 3 2 + 1 2 - 1 2 + 3 2 3 2 + 1 2 1 2 + 3 2 ∙ - 1 2 1 2 1 2 1 2

P T A P = - 2 2 2 2 4 2 4 2 ∙ - 1 2 1 2 1 2 1 2

P T A P = - 2 2 ∙ - 1 2 + 2 2 ∙ 1 2 - 2 2 ∙ 1 2 + 2 2 ∙ 1 2 4 2 ∙ - 1 2 + 4 2 ∙ 1 2 4 2 ∙ 1 2 + 4 2 ∙ 1 2

P T A P = 2 2 + 2 2 - 2 2 + 2 2 - 4 2 + 4 2 4 2 + 4 2

P T A P = 4 2 0 0 8 2

P T A P = 2 0 0 4

Resposta

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

P T A P = 2 0 0 4

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