Enunciado

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = 6 2 3 2 3 7

Passo 1

Para achar a matriz P vamos calcular os autovalores e autovetores.

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 2

Primeiro vamos fazer o autovalor:

  A - λ I = 0

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 λ - 6 2 3 2 3 7

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 6 - 2 3 - 2 3 λ - 7

Então, temos:

λ - 6 - 2 3 - 2 3 λ - 7 = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 2 × 2 , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

λ - 6 ∙ λ - 7 - - 2 3 ∙ - 2 3 = 0

λ 2 - 7 λ - 6 λ + 42 - 12 = 0

λ 2 - 13 λ + 30 = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

λ 2 - 13 λ + 30 = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 5

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = ( - 13 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 30

Δ = 49

Retornando em:

λ = - - 13 ± 49 2 ∙ 1

λ = 13 ± 7 2

Passo 6

Determinando os autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y

Logo:

A - λ I ∙ x y = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 6 - 2 3 - 2 3 λ - 7 ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v .

Passo 7

Para λ 1 = 3 :

3 - 6 - 2 3 - 2 3 3 - 7 ∙ x y = 0

- 3 - 2 3 - 2 3 - 4 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 3 x - 2 3 y = 0 - 2 3 x - 4 y = 0

Temos que:

- 3 x = 2 3 y

x = - 2 3 y 3

Escrevendo:

v = x y

v 1 = - 2 3 y 3 y

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ - 2 3 3 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = - 2 3 3 1

Passo 8

Para λ 2 = 10 :

10 - 6 - 2 3 - 2 3 10 - 7 ∙ x y = 0

4 - 2 3 - 2 3 3 ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

4 x - 2 3 y = 0 - 2 3 x + 3 y = 0

Temos que:

4 x - 2 3 y = 0

x = 2 3 y 4

x = 3 y 2

Escrevendo:

v = x y

v 2 = 3 y 2 y

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = y ∙ 3 2 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = 3 2 1

Passo 9

Agora vamos normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 - 2 3 3 2 + 1 2 ∙ - 2 3 3 1

u 1 = 1 12 9 + 1 ∙ - 2 3 3 1

u 1 = 1 12 9 + 9 9 ∙ - 2 3 3 1

u 1 = 1 21 9 ∙ - 2 3 3 1

u 1 = 1 7 3 ∙ - 2 3 3 1

Podemos reorganizar a fração 1 7 3 :

u 1 = 3 7 ∙ - 2 3 3 1

u 1 = - 6 3 7 3 7

u 1 = - 2 7 3 7

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 3 2 2 + 1 2 ∙ 3 2 1

u 2 = 1 3 4 + 1 ∙ 3 2 1

u 2 = 1 3 4 + 4 4 ∙ 3 2 1

u 2 = 1 7 4 ∙ 3 2 1

u 2 = 1 7 2 ∙ 3 2 1

Podemos reorganizar a fração 1 7 2 :

u 2 = 2 7 ∙ 3 2 1

u 2 = 2 3 2 7 2 7

u 2 = 3 7 2 7

u 2 = 3 7     2 7

Passo 10

Para escrever P , colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas:

P = - 2 7 3 7 3 7 2 7

Passo 11

Determinando P - 1 A P .

Primeiro vamos determinar P - 1 , considerando ser uma matriz ortogonal:

P - 1 = P T

P T = - 2 7 3 7 3 7 2 7

Passo 12

Retornando para:

P - 1 A P

E como P é ortogonal, então:

P T A P

P T A P = - 2 7 3 7 3 7 2 7 ∙ 6 2 3 2 3 7 ∙ - 2 7 3 7 3 7 2 7

Passo 13

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os:

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 14

Calculando:

P T A P = - 2 7 3 7 3 7 2 7 ∙ 6 2 3 2 3 7 ∙ - 2 7 3 7 3 7 2 7

P T A P = - 2 7 ∙ 6 + 3 7 ∙ 2 3 - 2 7 ∙ 2 3 + 3 7 ∙ 7 3 7 ∙ 6 + 2 7 ∙ 2 3 3 7 ∙ 2 3 + 2 7 ∙ 7 ∙ - 2 7 3 7 3 7 2 7

P T A P = - 12 7 + 6 7 - 4 3 7 + 7 3 7 6 3 7 + 4 3 7 6 7 + 14 7 ∙ - 2 7 3 7 3 7 2 7

P T A P = - 6 7 3 3 7 10 3 7 20 7 ∙ - 2 7 3 7 3 7 2 7

P T A P = - 6 7 ∙ - 2 7 + 3 3 7 ∙ 3 7 - 6 7 ∙ 3 7 + 3 3 7 ∙ 2 7 10 3 7 ∙ - 2 7 + 20 7 ∙ 3 7 10 3 7 ∙ 3 7 + 20 7 ∙ 2 7

P T A P = 12 7 + 9 7 - 6 3 7 + 6 3 7 - 20 3 7 + 20 3 7 30 7 + 40 7

P T A P = 21 7 0 0 70 7

P T A P = 3 0 0 10

Resposta

P = - 2 7 3 7 3 7 2 7

P T A P = 3 0 0 10

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