Enunciado

Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.

  1. A rotação por um ângulo π 4 em R 2 .

Passo 1

A matriz canônica do operador apresentado é dada por:

T = cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4

O problema nos pede para fazer uma inspeção na função apresentada, vamos usar um vetor x → = ( a , b ) .

T ⋅ x → = cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 ⋅ a b = ( a 2 2 - b 2 2 , a 2 2 + b 2 2 )

Então o vemos que T rotaciona x → em 45°.

Passo 2

Agora que sabemos o que nosso operador faz, devemos pensar como retornar nosso vetor x → para seu estado original, assim temos:

T - 1 ⋅ x → = cos - ⁡ π 4 - sen - ⁡ π 4 sen - ⁡ π 4 cos - ⁡ π 4 ⋅ a 2 2 - b 2 2 a 2 2 + b 2 2 = ( a , b )

Assim vemos que a inversa da rotação de 45 ° em R 2 será uma rotação por um ângulo de - π 4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial definido pelas equações e use o Teorema 4.10.4 para determinar se o operador é injetor. w 1 = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 w 2 = 2 x 1 + 5 x 2 +
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma reflexão na reta y = x em R 2
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma rotação em torno do eixo z em R 3 .
Em cada parte, determine por inspeção se o operador matricial é injetor para uma contração de fator k0 em R 2 .
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A dilatação de fator 3 em R 2 .