Enunciado

Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação matricial injetora.

  1. A = 1 - 1 2 0 3 - 4
  2. A = 1 2 3 - 1 0 - 4
  3. A = 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1

Passo 1

  1. Multiplicando a matriz A por um vetor x → = ( a , b , c ) temos:

    A ⋅ x → = 1 - 1 2 0 3 - 4 ⋅ a b  

    Que resulta num sistema de 3 equações dado por:

    a - b = x ' 2 a = x ' ' 3 a - 4 b = x ' ' '

    Como a única solução possível pra esse sistema é a trivial x → = 0 , A é uma transformação matricial injetora.

    Passo 2

  2. Multiplicando a matriz A por um vetor x → = ( a , b , c ) temos:

    A ⋅ x → = 1 2 3 - 1 0 - 4 ⋅ a b c

    Que resulta num sistema de 2 equações dado por:

    a + 2 b + 3 c = x ' - a - 4 c = x ' '

    O sistema aceita a solução 2 b = c , logo A não é uma transformação matricial injetora.

    Passo 3

Multiplicando a matriz A por um vetor x → = ( a , b , c ) temos:

  1. A ⋅ x → = 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 ⋅ a b c  

Que resulta num sistema de 3 equações dado por:

a + 2 b + c = x ' b + c = x ' ' a + b = x ' ' ' a - c = x ' ' ' '

Como a única solução possível pra esse sistema é a trivial x → = 0 , A é uma transformação matricial injetora.

Resposta

  1. É uma transformação matricial injetora.
  2. Não é uma transformação matricial injetora.
  3. É uma transformação matricial injetora.
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