Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Vértices A ( ± 4,0 ) , passando por P ( 8,2 ) .

Passo 1

A equação da hipérbole tem como vértice dois pontos em A ( ± 4,0 ) , isso significa que entre todos os exemplos dados, usaremos a primeira referência, e também passa por P ( 8,2 ) .

A primeira referência acontece quando A ( ± a , 0 ) , para isso:

a = 4

A equação da hipérbole pode começar a ser escrita como:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x 2 16 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Como sabemos que a hipérbole passa por P ( 8,2 ) , podemos substituir na equação que temos:

x 2 16 - y 2 b 2 = 1

Substituindo:

8 2 16 - 2 2 b 2 = 1

Resolvendo:

64 16 - 4 b 2 = 1

4 - 4 b 2 = 1

4 - 1 = 4 b 2

b 2 = 4 3

Passo 3

Retornando na equação prévia, teremos:

x 2 16 - y 2 4 / 3 = 1

Reorganizando:

x 2 16 - 3 y 2 4 = 1

Multiplicando por 16 :

x 2 - 12 y 2 = 16

Resposta

x 2 - 12 y 2 = 16

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