Enunciado

Em cada um dos problemas 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico

9 x 2 + 16 y 2 - 36 x + 96 y + 36 = 0

Passo 1

Vamos começar achando a equação reduzida, juntando os x ' s e os y ' s

9 x 2 - 36 x + 16 y 2 + 96 y = - 36

Show agora podemos visualizar melhor a sacada que vamos precisar!

9 x 2 - 4 x + 16 y 2 + 6 y = - 36

O que vamos fazer agora é completar quadrados, lembrando que:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

y + 3 2 = y 2 + 6 y + 9

Então vamos acrescentar esse 4 e o 9 dentro dos parênteses, mas quando fazemos isso temos que compensar do outro lado, então vamos ter que acrescentar 9 * 4 e 16 * 9 , no total temos que acrescentar 180 do outro lado da equação, então ficamos com

9 x 2 - 4 x + 4 + 16 y 2 + 6 y + 9 = - 36 + 180

9 x - 2 2 + 16 y + 3 2 = 144

Como a nossa equação tem que ser do tipo

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Vamos dividir os dois lados por 144

9 x - 2 2 144 + 16 y + 3 2 144 = 1

x - 2 2 16 + y + 3 2 9 = 1

Então, podemos ver que

C e n t r o = ( 2 , - 3 )

a 2 = 16

b 2 = 9

E nossa equação reduzida fica:

x 2 ' 16 + y 2 ' 9 = 1

Passo 2

Com a 2 e b 2 podemos encontrar quem é nossa distancia focal c , fazendo

a 2 = b 2 + c 2

c 2 = 16 - 9

c = 7

Passo 3

Para acharmos os vértices, basta somar ± a na coordenada x

A 1 = x 0 + a , y 0

A 1 = 6 , - 3

A 2 = x 0 - a , y 0

A 2 = ( - 2 , - 3 )

Passo 4

Achando c , podemos achar o foco, que vai ser no eixo x , já que o eixo maior é nele, somando a coordenada x do centro com ± c , para achar os dois focos, ou seja,

F 1 = ( x 0 + c , y 0 )

F 1 = 2 + 7 , - 3

F 2 = x 0 - c , y 0

F 2 = ( 2 - 7 , - 3 )

Passo 5

Agora para achar a excentricidade é só lembrar da formulinha

e = c a

e = 7 4

Passo 6

Juntando esses resultados que achamos podemos desenhar a nossa elipse, que fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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