Enunciado

Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal.

A = 7 - 2 - 2 - 2 1 4 - 2 4 1

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P t A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

7 - λ - 2 - 2 - 2 1 - λ 4 - 2 4 1 - λ = 0

Desta forma, desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

7 - λ ⋅ 1 - λ 2 - 16 + 2 - 2 + 2 λ + 8 - 2 - 8 + 2 - 2 λ = 0

Assim,

7 - λ λ 2 - 2 λ - 15 + 4 λ + 24 = 0

Desta forma,

7 λ 2 - 14 λ - 105 - λ 3 + 2 λ 2 + 15 λ + 8 λ + 24 = 0

Logo,

λ 3 - 9 λ 2 - 9 λ + 81 = 0

Fatorando por agrupamento:

λ λ 2 - 9 - 9 λ 2 - 9 = 0 ⇒ λ - 9 λ 2 - 9 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = - 3 ,   λ 2 = 3   e   λ 3 = 9

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = - 3 :

10 - 2 - 2 - 2 4 4 - 2 4 4 a b   c = 0 0 0

Assim, tiramos que

a = 0             e               b + c = 0 ⇒ c = - b

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = 0 ,   b ,   - b = b   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Para que ele seja normalizado, b = 1 / 2 :

v 1 = 0 , 1 2 , - 1 2

Já para o segundo autovalor λ 2 = 3 :

4 - 2 - 2 - 2 - 2 4 - 2 4 - 2 a b   c = 0 0 0

Assim, tiramos que

2 a = b + c ,         2 c = a + b             e           2 b = a + c

Da primeira equação tiramos c = 2 a - b . Substituindo nas outras duas:

4 a - 2 b = a + b             e             2 b = 3 a - b

Logo,

a = b = c

Portanto,

v 2 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Por fim, para λ 3 = 9 :

- 2 - 2 - 2 - 2 - 8 4 - 2 4 - 8 a b   c = 0 0 0

Na primeira linha:

a + b + c = 0 ⇒ c = - a - b

Na segunda:

a + 4 b - 2 c = 0 ⇒ a + 4 b + 2 a + 2 b = 0 ⇒ 3 a = - 6 b ⇒ a = - 2 b ⇒ c = b

Logo,

v 3 = - 2 6 , 1 6 , 1 6

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 0 1 3 - 2 6 1 2 1 3 1 6 - 1 2 1 3 1 6

Com essa matriz,

P t A P = - 3 0 0 0 3 0 0 0 9

Resposta

P = 0 1 3 - 2 6 1 2 1 3 1 6 - 1 2 1 3 1 6

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