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Calcule det ⁡ A , onde

  1. A =   3 - 1 5 0 0 2 0 1 2 0 - 1 3 1 1 2 0
  2. 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 - 6 π - 5 0 0 4 2 3 0 0 8 3 5 6 - 1
  3. i 3 2 - i 3 - i 1 i 2 1 - 1 0 - i i 0 1

Passo 1

a)

Observe que a linha dois possui dois elementos nulos:

a 21   e   a 23

Vamos escolher essa linha para usar o Teorema de Laplace, pois somente precisaremos calcular Δ 22 e Δ 24   . Calculando-os:

Δ 22 = - 1 2 + 2 3 5 0 2 - 1 3 1 2 0 = - 3

Δ 24 = - 1 2 + 4 3 - 1 5 2 0 - 1 1 1 2 = 18

Dessa forma, temos que:

det ⁡ A = 2 ∙ - 3 + 18 = 12

Passo 2

b)

Antes de sair fazendo conta nessa questão, multiplique a coluna 5 por 6 e some na coluna 4:

3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 - 6 π - 5 0 0 4 2 3 0 0 8 3 5 6 - 1 ⇒ C 4 → C 4 + 6 C 5 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 - 6 π - 5 0 0 4 2 3 0 0 8 3 5 0 - 1

Ou seja, temos uma coluna nula, do que segue que o determinante é nulo.

Passo 3

(c) Nós temos o determinante da matriz:

i 3 2 - i 3 - i 1 i 2 1 - 1 0 - i i 0 1

Vamos pegar a última linha para aplicar Laplace, beleza?? Isso porque ela tem pelo menos um 0 ... Vamos lá!

Assim, só vamos nos preocupar em calcular os cofatores dos elementos a 4 1 , a 4 2 e a 4 3 :

Δ 4 1 = - 1 4 + 1 3 2 - i - i 1 i 1 - 1 0 = - 1 0 + 2 i + 1 - - i - 3 i + 0 = - 6 i - 1

Δ 4 2 = - 1 4 + 2 i 2 - i 3 1 i 2 - 1 0 = 0 + 4 i + 3 i - - 2 i + 1 + 0 = 9 i - 1

Δ 4 3 = - 1 4 + 3 i 3 2 3 - i 1 2 1 - 1 = - 1 - 1 + 6 + 6 - - 4 i + i - 9 = - 3 i - 20

Lembrando que i 2 = - 1

Logo, temos que:

det ⁡ A = - i - 6 i - 1 + i 9 i - 1 + 1 - 3 i - 20

det ⁡ A = 6 i 2 + i + 9 i 2 - i - 3 i - 20

det ⁡ A = - 15 - 3 i - 20

det ⁡ A = - 3 i - 35

Resposta

  1. 12;
  2. 0;
  3. - 3 i - 35 .

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