Enunciado

3. Provar que 〈u , u〉 = 0 se, e somente se, u = (0 , ... , 0) .

Passo 1

Calma calma... não se desepera com o “provar”... vamos fazer juntos.

Nessa questão temos uma peculiaridade que é o “se, e somente se”. Dizem por aí que temos quer provar a ida e a volta... Em outra palavras, pra esse problema, temos que provar duas coisas:

i) Se 〈u , u〉 = 0 , então u = (0 , ... , 0) ;

ii) Se u = (0 , ... , 0) , então 〈u , u〉 = 0 .

Parece um pouco complicado, mas é super de boa.

Passo 2

i) Vamos começar provando a “ida”. Vamos tomar um vetor u teórico:

u = (u_1 , u_2 , ... u_n)

Fazendo o produto interno:

〈u , u〉 = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2

Repare que temos número elevados ao quadrado (isso nos garante que eles são sempre positivos ou zero) e só temos sinais de mais (+)... Então a única forma de:

〈u , u〉 = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = 0

É se:

u_1 = u_2 = ... = u_n = 0

Que é o u = (0 , ... , 0) .

Passo 3

ii) Agora provando a “volta”.

Se temos o vetor:

u = (0 , ... , 0)

Então o produto interno:

〈u , u〉 = (0) (0) + ... + (0) (0)

〈u , u〉 = 0

Como queríamos provar.

Viu como não é tão complicado?

Resposta

Demonstração

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1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
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