Enunciado

Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto A = - 1,6 , - 3 e tangencia o plano π : 4 x + 4 y + 7 z - 96 = 0 em T = 7,3 , 8 .

Passo 1

A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:

S : x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Sabemos que a esfera tangencia o plano e também sabemos qual o ponto de tangência! A sacada para resolvermos a questão é construirmos uma reta normal ao plano π no ponto T . Portanto, seja o vetor normal ao plano n → = 4,4 , 7 , a reta será:

r : X = 7 , 3 , 8 + λ 4,4 , 7

Portanto, qualquer ponto desta reta terá coordenadas X = 7 + 4 λ , 3 + 4 λ , 8 + 7 λ . Certo, mas qual o motivo disto ser a sacada da questão?

A resposta desta pergunta é que, algum ponto desta reta r será o centro da esfera! Portanto, existe algum λ que faça o X ser o centro da reta!

E com este ponto X , podemos fazer d X , A = d X , π = ρ ! Temos então que resolver estas relações de distâncias agora!

Passo 2

Vamos agora obter as relações de distâncias. Começando pela distância de X até A . Portanto,

d X , A = 7 + 4 λ - - 1 2 + 3 + 4 λ - 6 2 + 8 + 7 λ - - 3 2

d X , A = 8 + 4 λ 2 + - 3 + 4 λ 2 + 11 + 7 λ 2

d X , A = 64 + 64 λ + 16 λ 2 + 9 - 24 λ + 16 λ 2 + 121 + 154 λ + 49 λ 2

d X , A = 194 + 19 4 λ + 81 λ 2

Agora, vamos fazer distância do ponto até o plano. Portanto,

d X , π = 4 7 + 4 λ + 4 3 + 4 λ + 7 8 + 7 λ - 96 4 2 + 4 2 + 7 2

d X , π = 81 λ 81

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d X , A = d X , π

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos esta raiz e módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d X , A 2 = d X , π 2

194 + 194 λ + 81 λ 2 2 = 81 λ 81 2

194 + 194 λ + 81 λ 2 = 81 λ 2 81

194 + 194 λ + 81 λ 2 = 81 λ 2

λ = - 1

Portanto, o centro será X = 7 - 4 , 3 - 4 , 8 - 7 = 3 , - 1,1 . E o raio será:

d X , π = 81 λ 81 = 81 81 = 81

Portanto, a equação reduzida da superfície será:

S : x - 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 81

E para chegarmos na equação geral, conforme vista no Passo 1, é só expandirmos a equação. Portanto,

S : x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = 81

S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 2 y - 2 z - 70 = 0

Resposta

S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 2 y - 2 z - 70 = 0

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