Enunciado

Obtenha uma equação da superfície esférica inscrita no tetraedro determinado pelos planos

π 1 : y = 3

π 2 : z + 2 = 0

π 3 : 2 x - 2 y - z + 4 = 0

π 4 : 2 x + y - 2 z = 13

Passo 1

A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:

S : x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Sendo o centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio ρ .

Sabemos que a esfera é tangente aos 4 planos. E, se uma esfera é tangente a um plano, a distância entre o centro dessa superfície e o plano é igual ao raio da superfície. Portanto, sabemos que:

d C , π 1 = d C , π 2 = d C , π 3 = d C , π 4 = ρ

Portanto, vamos calcular as distâncias da superfície aos planos.

d C , π 1 = y 0 - 3 0 2 + 1 2 + 0 2 = y 0 - 3

d C , π 2 = z 0 + 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = z 0 + 2

d C , π 3 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 2 2 + - 2 2 + - 1 2 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 9 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3

d C , π 3 = 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 2 2 + 1 2 + - 2 2 = 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 9 = 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3

Agora, vamos montar um sistema de equações utilizando o quadrado das distâncias. Portanto,

y 0 - 3 = z 0 + 2 y 0 - 3 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3 y 0 - 3 = 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3

E agora? Chegamos a um sistema bem complicado de ser resolvido, visto que ele é modular. Podemos pensar em elevar ao quadrado e resolver o sistema. Só que se fizermos isto, não iremos obter um sistema de equações lineares. Logo, será muito difícil de ser resolvido.

E como iremos resolver então?

Passo 2

Antes de discutirmos como iremos resolver, vamos obter os vértices do tetraedro. Para isto, vamos montar sistemas de equações formados pelas equações dos planos. Sendo assim, temos que resolver os seguintes sistemas:

S i s t e m a   1 → y = 3 z + 2 = 0 2 x - 2 y - z + 4 = 0

S i s t e m a   2 → y = 3 z + 2 = 0 2 x + y - 2 z = 13

S i s t e m a   3 → y = 3 2 x - 2 y - z + 4 = 0 2 x + y - 2 z = 13

S i s t e m a   4 → 2 x + y - 2 z = 13 z + 2 = 0 2 x - 2 y - z + 4 = 0

Estes 4 sistemas foram obtidos através da combinação de 3 planos dos planos π 1 , π 2 , π 3 , π 4 . Ao resolvermos, iremos obter o vértice em relação ao plano que não foi utilizado. Por exemplo, no sistema 1, temos o vértice em relação ao plano π 4

Passo 3

Agora, vamos resolver cada um dos sistemas.

Do Sistema 1, obtemos que: y = 3 , z = - 2 e x = 0 . Portanto, temos o ponto A = 0,3 , - 2 , vértice em relação ao plano π 4 .

Do Sistema 2, obtemos que: y = 3 , z = - 2 e x = 3 . Portanto, temos o ponto B = 3 , 3 , - 2 , vértice em relação ao plano π 3 .

Do Sistema 3, obtemos que: y = 3 , z = 8 e x = - 3 . Portanto, temos o ponto C = - 3 , 3 , - 8 , vértice em relação ao plano π 2 .

Do Sistema 4, obtemos que: z = - 2 , y = 5 e x = 2 . Portanto, temos o ponto D = 2 , 5 , - 2 , vértice em relação ao plano π 1 .

Passo 4

E pra quê determinamos os vértices? Então, vejam só. Vamos trabalhar com a equação do plano π 1 : y = 3 , ou π 1 : y - 3 = 0 .

Dado um ponto de coordenadas X = a , b , c , se substituirmos na equação do plano y - 3 , temos três possibilidades: obter o valor 0; obter um valor maior do que zero ou obter um valor menor do que zero.

Ser obtivermos o valor 0 , significa que o ponto X pertence ao plano. E o que acontece com a inequação? Significa que ele pertence a uma metade do espaço (o plano não divide o espaço em dois lados?).

Portanto, se obtivermos o valor > 0 , e substituirmos um ponto P qualquer e também obtivermos o valor > 0 , significa que ele pertence também ao mesmo semi espaço!

E é isto que temos que fazer. O centro estará no mesmo semi espaço que o vértice em relação a cada plano. Vamos utilizar esta relação para saber se o módulo que obtivemos no Passo 1 tem sinal negativo ou positivo.

Passo 5

Vamos começar devagar então. Começando pelo vértice A = 0,3 , - 2 e pelo plano π 4 : 2 x + y - 2 z - 13 = 0 , temos:

2 x + y - 2 z - 13

2 ⋅ 0 + 3 - 2 ⋅ - 2 - 13

0 + 3 + 4 - 13

- 6 < 0

Portanto,

2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3 ⟹ - 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3

Entenderam? Como, ao substituir, obtivemos um valor menor do que 0, significa que, ao substituirmos as coordenadas do centro C = x 0 , y 0 , z 0 , também vamos obter um valor negativo! Por isto, multiplicamos por -1.

Agora, vamos repetir o procedimento com todos os outros vértices e planos. Para o vértice B = 3,3 , - 2 e pelo plano π 3 : 2 x - 2 y - z + 4 = 0 , temos:

2 x - 2 y - z + 4

2 ⋅ 3 - 2 ⋅ 3 - 1 ⋅ - 2 + 4

6 - 6 + 2 + 4

6 > 0

Portanto,

2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3 ⟹ 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3

Para o vértice C = - 3,3 , - 8 e pelo plano π 2 : z + 2 = 0 , temos:

z + 2 = 0

- 8 + 2

- 6 < 0

Portanto,

z 0 + 2 ⟹ - z 0 - 2

Por fim, para o vértice D = 2,5 , - 2 e pelo plano π 1 : y - 3 = 0 , temos:

y - 3 = 0

5 - 3

2 > 0

Portanto,

y 0 - 3 ⟹ y 0 - 3

Portanto, temos que resolver o seguinte sistema:

y 0 - 3 = - z 0 - 2 y 0 - 3 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3 y 0 - 3 = - 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3

Passo 6

Para finalizarmos a questão, vamos resolver o sistema descrito no final do Passo 5. Portanto

y 0 - 3 = - z 0 - 2 y 0 - 3 = 2 x 0 - 2 y 0 - z 0 + 4 3 y 0 - 3 = - 2 x 0 + y 0 - 2 z 0 - 13 3

Da primeira equação, obtemos y 0 = - z 0 + 1 . Substituindo nas outras equações, temos:

y 0 = - z 0 + 1 - z 0 - 2 = 2 x 0 - 2 - z 0 + 1 - z 0 + 4 3 - z 0 - 2 = - 2 x 0 + - z 0 + 1 - 2 z 0 - 13 3 ⟹ y 0 = - z 0 + 1 - 3 z 0 - 6 = 2 x 0 + z 0 + 2 3 z 0 + 6 = 2 x 0 - 3 z 0 - 12

Reorganizando as últimas duas linhas, temos:

y 0 = - z 0 + 1 2 x 0 + 4 z 0 = - 8 2 x 0 - 6 z 0 = 18

Se subtrairmos a segunda linha da terceira, temos:

10 z 0 = - 26

z 0 = - 13 5

Portanto,

y 0 = - z 0 + 1 = 13 5 + 1 = 18 5

E

2 x 0 = - 8 - 4 z 0

x 0 = - 4 - 2 z 0 = - 4 + 26 5

x 0 = 6 5

Portanto, a nossa superfície tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 = 6 5 , 18 5 , - 13 5

Passo 7

Para finalizarmos a questão, basta obtermos o raio da superfície e assim escrever a equação desta superfície.

Então, para obtermos o raio, basta substituir as coordenadas do centro em qualquer equação de distância escrita no Passo 1. Portanto,

d C , π 1 = y 0 - 3 = 18 5 - 3 = 3 5

Portanto, a superfície esférica que buscamos é expressa por:

S : x - 6 5 2 + y - 18 5 2 + z + 13 5 2 = 9 25

Resposta

S : x - 6 5 2 + y - 18 5 2 + z + 13 5 2 = 9 25

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Obtenha uma equação da superfície esférica que contém os pontos 0,0 , 1 , 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) , cujo centro pertence ao plano π : x + y - z = 0