Enunciado

Determine o diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0 que é perpendicular ao plano π : x - y - 2 = 0 .

Passo 1

Bom pessoal, o primeiro passo é melhorar essa equação da esfera. Para isso vamos usar o método de completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0

Dá uma olhada nos termos com x por exemplo:

x 2 + 2 x

Parecem muito com um produto notável que a gente conhece:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

Então se somarmos 1 dos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y + 1 = 1

x + 1 2 + y 2 + z 2 - 2 y = 1

Agora é só fazer a mesma coisa com os outros:

y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1

Então vamos somar 1 dos dois lados:

x + 1 2 + y 2 + z 2 - 2 y + 1 = 2

x + 1 2 + y - 1 2 + z 2 = 2

Ok, agora fica mais fácil de trabalhar com a equação.

Passo 2

Se o diâmetro é perpendicular ao plano, então ele tem que ser paralelo ao vetor normal ao plano.

Quando temos uma equação geral de plano com essa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

O vetor normal ao plano é:

n → = a , b , c

Então, como o nosso plano é:

x - y - 2 = 0

Então o nosso vetor normal é:

n → = 1 , - 1,0

E para que um segmento qualquer seja paralelo a esse vetor, ele precisa atender:

A B - = α   n →

A B - = α   1 , - 1,0

E o comprimento desse vetor é:

n → = 1 2 + - 1 2 + 0 2 = 2

Isso vai ser útil ali na frente!

Passo 3

Uma forma de resolver nosso problema agora é pegar o centro da esfera.

Lembrando que se a esfera tem raio r e centro em x 0 , y 0 , z 0 , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então:

x + 1 2 + y - 1 2 + z 2 = 2

C = - 1 ,   1   ,   0

r = 2

Ou seja, o nosso vetor n → tem comprimento igual ao raio!

Só o que a gente precisa fazer é andar um comprimento n → a partir do centro nos dois sentidos e vamos ter dois pontos na superfície que são ligados por um segmento paralelo a n → ·.

Passo 4

Então nosso primeiro ponto é:

P 1 = C + n →

P 1 = - 1 ,   1   ,   0 + 1 , - 1,0

P 1 = 0,0 , 0

E o segundo ponto é:

P 2 = C - n →

P 2 = - 1,1 , 0 - 1 , - 1,0

P 2 = - 2,2 , 0

Ou seja, o nosso diâmetro é um segmento entre os pontos 0,0 , 0 e - 2,2 , 0 .

Resposta

O diâmetro é um segmento entre os pontos 0,0 , 0 e - 2,2 , 0 .

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