Enunciado

Encontre uma equação de plano para um plano que contenha a linha x = 1 + t , y = 2 - t , z = 4 - 3 t e seja paralela ao plano 5 x + 2 y + z = 1 .

Passo 1

Bom galera, a gente pode escrever a nossa linha assim:

L = 1 + t , 2 - t , 4 - 3 t

E essa linha pode ser escrita como um ponto de origem somado com um vetor direção que é multiplicado por ter, bem assim:

L = O + t v →

Então se a gente separar nossa linha fica:

L = ( 1,2 , 4 ) + t ( 1 , - 1 , - 3 )

Assim, temos nosso ponto:

( 1,2 , 4 )

E a equação de um plano paralelo é:

5 x + 2 y + z = 1

Passo 2

Beleza, o que importa pra gente são os coeficiêntes angulares desse plano pois o nosso plano será pararelo a ele, então o 0 a gente esquece, pois ele que define o local do plano.

Vamos pegar então a função que pode gerar qualquer plano paralelo ao que o problema deu:

f x , y , z = 5 x + 2 y + z

E agora vamos aplicar o ponto que sabemos que o plano vai ter que passar:

f 1 , 2 , 4 = 5 x + 2 y + z

5 1 + 2 ( 2 ) + ( 4 ) = 13

Se você quiser saber mais sobre isso dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 3

Show de bola, agora a gente pega a função e iguala ao valor que a gente encontrou:

5 x + 2 y + z = 13

Essa é a nossa função do plano.

Resposta

5 x + 2 y + z = 13

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Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 6 x + 3 y - 4 z = 6
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano: 3 x + y + 2 z = 6
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 2 x + 5 y + z = 10
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 6 x + 5 y + 3 z = 15
Determina m , n ∈ R para que a reta x , y , z = n , 2,0 + t ( 2 , m , m ) esteja contida no plano π : x - 3 y + z = 1 .