Enunciado

Considere os seguintes vetores do R³: u = (2, 2, 2) e v = (3, 3, 1).

  1. Determinar dois vetores v 1 e v 2 tais que v = v 1 +   v 2 , v 1 é ortogonal a u e v 2 = λ u   ( λ   ϵ   R ) ;
  2. Se w = ( - 5,1 , - 1 )   decompor v em uma parcela de W = [ u , w ] e uma parcela de W ⊥ ;
  3. Determinar uma base ortonormal de W .

Passo 1

Vamos organizar as informações que queremos. Seja v 1 = ( a , b , c ) e v 2 = ( x , y , z ) , se v = v 1 +   v 2 , temos que:

v = v 1 +   v 2

( 3,3 , 1 ) = ( a , b , c )   +   ( x , y , z )    

Então podemos escrever as seguintes equações:

a + x = 3

b + y = 3

c + z = 1

Escrevendo as coordenadas de v 2 em função das coordenadas de v 1 temos:

x = 3 - a

y = 3 - b

z = 1 - c

Vamos guardar essas equações.

Passo 2

O enunciado nos fala que v 2 = λ u , logo:

v 2 = λ u

v 2 = λ ( 2,2 , 2 )

( x , y , z ) = ( 2 λ , 2 λ , 2 λ )

Logo temos que x = y = z = 2 λ

Agora que sabemos que x = y = z podemos substituir esses valores nas equações encontradas no final do passo 1:

Com as duas primeiras temos x = 3 - a e   y = 3 - b como x = y temos:

x = y

3 - a = 3 - b a = b

Analisando a primeira e terceira equação do passo 1, x = 3 - a e z = 1 - c e sabendo que x = z ,   temos:

x = z

3 - a = 1 - c ⇒   c = a - 2                   ( I )

Passo 3

Outra informação que o problema nos dá é que v 1 é ortogonal a u , ou seja:

v 1 . u = 0

2 a + 2 b + 2 c = 0

Como já descobrimos que a = b , temos que:

2 a + 2 b + 2 c = 0

4 a + 2 c = 0           ( I I )

Passo 4

Podemos montar um sistema com as incógnitas a   e   c usando as equações ( I )   e   ( I I ) :

4 a + 2 c = 0

c = a - 2

Resolvendo o sistema obtemos que a = 2 3 b = 2 3 e   c = - 4 3

Agora vamos substituir esses valores nas equações do passo 1 para obter os valores de x , y , z :

x = 3 - a

x = 7 3

Como x = y = z temos que x = y = z = 7 3

Assim temos que v 1 = ( 2 3 , 2 3 , - 4 3 )   e     v 2 = ( 7 3 , 7 3 , 7 3 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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