Enunciado

Considere o subespaço de R 3 gerado pelos vetores v 1 = ( 1,1 , 0 ) , v 2 = ( 0 , - 1,1 ) e v 3 = ( 1,1 , 1 ) . v 1 , v 2 , v 3 = R 3 ? Por quê?

Passo 1

Precisamos verificar se os vetores fornecidos são LI, pois caso sejam, o subespaço gerado por eles possui dimensão 3, igual à do R 3 . Como ele é subespaço do R 3 , se ele possui a mesma dimensão do R 3 , então ele é capaz de gerar todos os vetores desse espaço, de modo que eles seriam iguais.

Para isso, vamos fazer uma combinação linear nula dos vetores fornecidos:

a 1,1 , 0 + b 0 , - 1,1 + c 1,1 , 1 = 0

Que gera o sistema:

a + c = 0 a - b + c = 0 b + c = 0

Da primeira equação:

a = - c

Da segunda:

- b = 0 ⇒ b = 0

Da terceira equação:

c = 0

a = 0

Disso temos que os vetores são LI e o subespaço v 1 , v 2 , v 3 tem dimensão 3. Conforme discutido acima, eles geram o R 3 .

Resposta

Sim, pois é um subspaço do R 3 com a mesma dimensão dele.

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais: { ( x , y , z ) ∈ I R 3 / y = 5 xez = 0 }
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais: { x , y , z∈ I R 3 / y = 3 x }
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais:c) { ( x , y ) ∈ I R 2 / x + y = 0 }
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais:d) { ( x , y , z ) ∈ I R 3 / x = 3 yez = - y }
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Mostre que se w 1 e um subespaço de V , então existe um subespaço w 2 tal que V = w 1 ⊕ w 2 .