Enunciado

Uma matriz A , n   x   n , é chamada (definida) positiva se o operador T : R n → R n definido por T X = A X , para todo X ∈ R n e um operador definido positivo. Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de uma matriz A , n   x   n , eliminando-se as ultimas n - k linhas e colunas. A k e chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A e simétrica e definida positiva, então:

a) A é não singular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão uma matriz A , n   x   n , é chamada (definida) positiva se o operador T : R n → R n definido por T X = A X , para todo X ∈ R n e um operador definido positivo. Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de uma matriz A , n   x   n , eliminando-se as ultimas n - k linhas e colunas. A k e chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A e simétrica e definida positiva, então:

a) A é não singular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que uma matriz A , n   x   n tendo um operador T : R n → R n , com k = 1 , … , n temos que na letra (a) para A não singular, temos

A = T → A = X ∈   C n

Na letra (b) para det ⁡ ( A ) > 0

det ⁡ ( A - λ I ) → f i c a n d o

det ⁡ ( A ) ≠ 0

E por fim na letra ( c ) para as submatrizes principais A 1 , … , A n , temos

< T x , x >   = x t A x

Ficando,

T x = A x ,   p a r a   t o d o   X ∈ R 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) X ∈   C n

b) det ⁡ ( A ) ≠ 0

c) T x = A x ,   p a r a   t o d o   X ∈ R 3

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T ∈ L V um automorfismo. Se T é auto-adjunto, mostrar que T - 1 também o é.
Seja A um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Se H é um sub-espaço vetorial de V com a propriedade u ∈ H → A u ∈ H Mostrar que H ⊥ tem também essa propriedade.
Seja H um sub-espaço vetorial do espaço euclidiano V . Então cada v ∈ V se expressa, de uma única maneira, como v = h + t Onde h ∈ H e t ∈ H ⊥ . Considere a aplicação A : V → V definida por A v = h -
Determinar uma base ortonormal de W, onde W é o sub- -espaço de R 4 dado por W={( x ,y ,z ,t ):x+y= 0 e2 x+z=y} .
Seja W um subespaço de um espaço euclidiano de dimensão finita V. Para todo v ϵ V, seja v = w + w ' com w ϵ W e w' ϵ W ⊥ . Mostrar que a aplicação T :V → V dada por: T ( v ) = w - w ' é linear e tem a