Enunciado

Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,   x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,   2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .

Passo 1

Essa é uma questão bem simples que o enunciado fornece uma transformação linear

T x , y = ( 3 x - 2 y ,   x + 4 y )

e pede para você calcular T ( 3 u + 4 v ) e provar que

T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v )

Para isso, você deve calcular primeiro:

3 u + 4 v = 3 1 ,   2 + 4 3 ,   - 1 = ( 15 ,   2 )

Assim,

T 3 u + 4 v = T 15 ,   2 = 45 - 4 ,   15 + 8

Portanto,

T 3 u + 4 v = ( 41 ,   23 )

Passo 2

Por outro lado,

T u = T 1 ,   2 = 3 - 4 ,   1 + 8 = ( - 1 ,   9 )

Analogamente,

T v = T 3 ,   - 1 = 9 + 2 ,   3 - 4 = ( 11 ,   - 1 )

Passo 3

Agora que temos T ( u ) e T ( v ) , podemos calcular

3 T u + 4 T v = 3   - 1 ,   9 + 4   11 , - 1

Logo,

3 T u + 4 T v = - 3 ,   27 + 44 , - 4 = ( 41 ,   23 )

Veja que isso é exatamente o que achamos para T ( 3 u + 4 v ) . Portanto:

T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v )

Resposta

Demonstração.

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