Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

3 x 2 - 4 3 x y - y 2 + 20 y - 25 = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

3 x 2 - 4 3 x y - y 2 + 20 y - 25 = 0

A = 3 ,   B = - 4 3 ,   C = - 1 ,   D = 0 ,   E = 20 ,   F = - 25

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = ( 4 3 ) 2 - 4 3 - 1 = 60

Como o discriminante deu positivo, a equação representa uma hipérbole!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 3 - 2 3 - 2 3 - 1 x y + 0 20 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 3 - 2 3 - 2 3 - 1

det ⁡ M - λ I = 3 - λ - 2 3 - 2 3 - 1 - λ = 3 - λ - 1 - λ - 12

det ⁡ M - λ I = λ 2 - 2 λ - 15

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = - 3   ou λ = 5 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = - 3 :   3 + 3 - 2 3 - 2 3 - 1 + 3 x y = 0 0 → 6 x - 2 3 y = 0 → y = 3 x

Então o vetor ( 1 , 3 ) é autovetor associado a λ = - 3 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = 1 2 ,   3 2 .

λ = 5 :   3 - 5 - 2 3 - 2 3 - 1 - 5 x y → - 2 x - 2 3 y = 0 → x = - 3 y

Então o vetor ( - 3 ,   1 ) é autovetor associado a λ = 5 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = - 3 2 , 1 2 .  

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' - 3 0 0 5 x ' y ' + 0 20 1 2 - 3 2 3 2   1 2 x ' y ' - 3 = 0

Desenvolvendo:

- 3 x ' 2 + 5 y ' 2 + 10 3 10 x ' y ' - 25 = 0

- 3 x ' 2 + 5 y ' 2 + 10 3 x ' + 10 y ' - 25 = 0

Completando os quadrados:

- 3 x ' - 5 3 2 + 5 y ' + 1 2 - 25 = - 25 + 5

- x ' - 5 3 2 5 3 + y ' + 1 2 = 1

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) , que tinha centro 5 3 ,   - 1 e eixos na direção 1 2 , 3 2 e - 3 2 , 1 2 .

Resposta

Hipérbole de equação:

- x ' - 5 3 2 5 3 + y ' + 1 2 = 1

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