Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

- 5 y 2 + 2 x y - 8 x z + 2 y z = 0

Passo 1

Aqui a gente tá com x , y e z , tudo na mesma sopa, então vamos ter uma quádrica! A primeira coisa que temos que fazer é escrever essa equação na forma matricial!

- 5 y 2 + 2 x y - 8 x z + 2 y z = 0

x y z 0 1 - 4   1 - 5   1 - 4 1   0 x y z = 0

Passo 2

A próxima missão é calcular os autovalores e autovetores da matriz!

M = 0 1 - 4   1 - 5   1 - 4 1   0

det ⁡ M - λ I = - λ 1 - 4   1 - 5 - λ   1 - 4 1 - λ = - λ 2 5 + λ - 4 - 4 + λ + λ + 16 ( 5 + λ )

det ⁡ M - λ I = - λ 3 - 5 λ 2 + 18 λ + 72

A gente não sabe encontrar raiz do terceiro grau, mas a gente sabe chutar! Depois de testar uns valores, vamos ver que λ = 4   é raiz. Aí, podemos dividir o polinômio por λ - 4 , e aí resolvendo a equação do segundo grau vamos encontrar λ = - 3 e λ = - 6 . Vamos substituir esses valores pra encontrar os autovetores.

λ = 4 :   - 4 1 - 4   1 - 9   1 - 4 1 - 4 x y z = 0 0 0 → - 4 x + y - 4 z = 0 x - 9 y + z = 0

Somando a primeira com quatro vezes a segunda, vamos obter y = 0 , e aí, substituindo, z = - x , e então o autovetor é ( 1 ,   0 ,   - 1 ) . Normalizando, vamos obter:

v 1 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2  

λ = - 3 :   3 1 - 4   1 - 2   1 - 4 1 3 x y z = 0 0 0 → 3 x + y - 4 z = 0 x - 2 y + z = 0 - 4 x + y + 3 z = 0

Subtraindo a última da primeira, vamos encontrar x = z , e substituindo em qualquer uma, vamos achar x = y = z . Por isso, o nosso autovetor é ( 1 ,   1 ,   1 ) . Normalizando, vamos obter:

v 2 = 1 3 , 1 3 ,   1 3  

λ = - 6 :   6 1 - 4   1 1   1 - 4 1 6 x y z = 0 0 0 → 6 x + y - 4 z = 0 x + y + z = 0 - 4 x + y + 6 z = 0

Subtraindo a última da primeira, vamos encontrar x = z , e substituindo em qualquer uma, vamos achar y = - 2 x = - 2 z . Por isso, o nosso autovetor é ( 1 ,   - 2 ,   1 ) . Normalizando, vamos obter:

v 3 = 1 6 , - 2 6 ,   1 6  

Passo 3

Trocando a equação matricial pelo novo referencial, usando a matriz dos autovalores. Tanto faz a ordem que escolhermos! Isso só vai mudar em qual eixo vão estar as coisas, mas como só queremos caracterizar a quádrica, não faz mal.

x ' y ' z ' - 3 0 0 0 - 6 0 0 0 4 x ' y ' z ' = 0

- 3 x ' 2 - 6 y ' 2 + 4 z ' 2 = 0

Essa equação representa a quádrica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' , z ' ) . Ela é um cone, que tinha como centro o ponto 0,0 ,   0 , e eixos na direção de 1 3 , 1 3 ,   1 3   , 1 3 , 1 3 ,   1 3   e 1 2 ,   0 ,   - 1 2   .

Resposta

Hiperboloide de duas folhas, de equação:

- 3 x ' 2 - 6 y ' 2 + 4 z ' 2 = 0

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. 3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 x z = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: x y + x + y = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: 9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0