Enunciado

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 8 x + 24 y - 2 z + 41 = 0

Passo 1

Pra podermos encontrar a forma reduzida, a primeira coisa que temos que fazer é completar os quadrados na equação. Então vamos nessa!

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 8 x + 24 y - 2 z + 41 = 0

2 x 2 - 8 x + 4 y 2 + 24 y + z 2 - 2 z + 41 = 0

2 x 2 - 4 x + 4 y 2 + 6 y + z 2 - 2 z + 41 = 0

2 x 2 - 4 x + 4 - 8 + 4 y 2 + 6 y + 9 - 36 + z 2 - 2 z + 1 - 1 + 41 = 0

2 x - 2 2 + 4 y + 3 2 + z - 1 2 = 4

Dividindo tudo por 4 :

x - 2 2 2 + y + 3 2 + z - 1 2 4 = 1

Passo 2

Beleza, encontramos a equação com os quadrados completados! Agora vamos fazer uma translação de eixos:

u = x - 2 v = y + 3 w = z - 1

A equação vai ficar:

u 2 2 + v 2 + w 2 4 = 1

Passo 3

A gente tem três termos ao quadrado sendo somados e igualando a 1 . Esses termos tem coeficientes diferentes. Essa equação representa uma elipsoide!

Resposta

u 2 2 + v 2 + w 2 4 = 1 : elipsoide.

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