Enunciado

Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

5 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 - 10 x + 20 z - 3 = 0

Passo 1

Pra podermos encontrar a forma reduzida, a primeira coisa que temos que fazer é completar os quadrados na equação. Então vamos nessa!

5 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 - 10 x + 20 z - 3 = 0

5 x 2 - 10 x + 5 y 2 + 5 z 2 + 20 z - 3 = 0

5 x 2 - 2 x + 5 y 2 + 5 z 2 + 4 z - 3 = 0

5 x 2 - 2 x + 1 - 5 + 5 y 2 + 5 z 2 + 4 z + 4 - 20 - 3 = 0

5 x - 1 2 + 5 y 2 + 5 z + 2 2 = 28

Passo 2

Beleza, encontramos a equação com os quadrados completados! Agora vamos fazer uma translação de eixos:

u = x - 1 v = y w = z + 2

A equação vai ficar:

5 u 2 + 5 v 2 + 5 w 2 = 28

5 28 u 2 + 5 28 v 2 + 5 28 w 2 = 1

Passo 3

A gente tem três termos ao quadrado, todos com sinal positivo, somando e dando 1 . Todos eles têm os coeficientes iguais. Essa equação representa então uma superfície esférica!

Resposta

5 28 u 2 + 5 28 v 2 + 5 28 w 2 = 1 : superfície esférica.

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Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 2 x 2 + 2 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 2 x z + 2 y z - 10 x - 6 y - 2 z - 7 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. y 2 - 4 x z - 4 x + 2 y - 3 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0
Por uma conveniente translação de eixos, transformar cada uma das equações seguintes na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. x 2 + 4 y 2 - z 2 - 2 x + 16 y + 17 = 0
Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la. 3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0