Enunciado

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

5 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 - 10 x + 20 z - 3 = 0

Passo 1

Pra podermos encontrar a forma reduzida, a primeira coisa que temos que fazer é completar os quadrados na equação. Então vamos nessa!

5 x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 - 10 x + 20 z - 3 = 0

5 x 2 - 10 x + 5 y 2 + 5 z 2 + 20 z - 3 = 0

5 x 2 - 2 x + 5 y 2 + 5 z 2 + 4 z - 3 = 0

5 x 2 - 2 x + 1 - 5 + 5 y 2 + 5 z 2 + 4 z + 4 - 20 - 3 = 0

5 x - 1 2 + 5 y 2 + 5 z + 2 2 = 28

Passo 2

Beleza, encontramos a equação com os quadrados completados! Agora vamos fazer uma translação de eixos:

u = x - 1 v = y w = z + 2

A equação vai ficar:

5 u 2 + 5 v 2 + 5 w 2 = 28

5 28 u 2 + 5 28 v 2 + 5 28 w 2 = 1

Passo 3

A gente tem três termos ao quadrado, todos com sinal positivo, somando e dando 1 . Todos eles têm os coeficientes iguais. Essa equação representa então uma superfície esférica!

Resposta

5 28 u 2 + 5 28 v 2 + 5 28 w 2 = 1 : superfície esférica.

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