Enunciado

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0

Passo 1

Pra podermos encontrar a forma reduzida, a primeira coisa que temos que fazer é completar os quadrados na equação. Então vamos nessa!

3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0

3 x 2 + 24 x + 4 y 2 - 8 y + 24 z + 100 = 0

3 x 2 + 8 x + 4 y 2 - 2 y + 24 z + 100 = 0

3 x 2 + 8 x + 16 - 48 + 4 y 2 - 2 y + 1 - 4 + 24 z + 100 = 0

3 x + 4 2 + 4 y - 1 2 + 24 z + 48 = 0

3 x + 4 2 + 4 y - 1 2 = - 24 z + 2

Dividindo por 24 :

x + 4 2 8 + y - 1 2 6 = - ( z + 2 )

Passo 2

Beleza, encontramos a equação com os quadrados completados! Agora vamos fazer uma translação de eixos:

u = x - 4 v = y - 1 w = z + 2

A equação vai ficar:

u 2 8 + v 2 6 = - w

Passo 3

A gente tem dois termos ao quadrado sendo somados e igualando a um termo sem quadrado. Esses termos tem coeficientes diferentes. Essa equação representa um paraboloide eliptico!

Resposta

u 2 8 + v 2 6 = - w : paraboloide elíptico.

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