Enunciado

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa.

2 x 2 - y 2 - 2 z 2 + 8 x + 4 = 0

Passo 1

Pra podermos encontrar a forma reduzida, a primeira coisa que temos que fazer é completar os quadrados na equação. Então vamos nessa!

2 x 2 - y 2 - 2 z 2 + 8 x + 4 = 0

2 x 2 + 8 x - y 2 - 2 z 2 + 4 = 0

2 x 2 + 4 x - y 2 - 2 z 2 + 4 = 0

2 x 2 + 4 x + 4 - 8 - y 2 - 2 z 2 + 4 = 0

2 x + 2 2 - y 2 - 2 z 2 = 4

Dividindo tudo por 4 :

x + 2 2 2 - y 2 4 - z 2 2 = 1

Passo 2

Beleza, encontramos a equação com os quadrados completados! Agora vamos fazer uma translação de eixos:

u = x + 2 v = y w = z

A equação vai ficar:

u 2 2 - v 2 4 - w 2 2 = 1

Passo 3

A gente tem três termos ao quadrado, um com sinal positivo e dois com sinal negativo, tudo isso igualando a 1 . Esses termos tem coeficientes diferentes. Essa equação representa um hiperboloide de duas folhas.

Resposta

u 2 2 - v 2 4 - w 2 2 = 1 : hiperboloide de duas folhas.

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