Enunciado

Ache a equação da reta tangente à elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 72 no ponto ( 3 ,   2 ) .

Passo 1

Para acharmos a equação da reta tangente à elipse vamos realizar uma derivação implícita na expressão. Assim temos:

d 4 x 2 + 9 y 2 d x = d 72 d x

8 x + 18 y y ' = 0

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto dado no enunciado na derivada que encontramos, o valor encontrado representa o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto m .

8 ( 3 ) + 18 ( 2 ) y ( 3 ,   2 ) ' = 0

24 + 36 y ( 3 ,   2 ) ' = 0

y ( 3 ,   2 ) ' = - 24 36 =   - 2 3

Passo 3

Tendo um ponto e o coeficiente angular podemos montar a equação da reta tangente.

y ( 3 ,   2 ) ' = m =   - 2 3

y - 2 = - 2 3 ∙ x - 3

3 ∙ y - 2 = - 2 ∙ x - 3

3 y - 6 = - 2 x + 6

2 x + 3 y - 12 = 0

Resposta

Primeiramente vamos analisar se o ponto faz parte da elipse, ao aplicar na equação da elipse e se a igualdade é verdadeira.

4 3 2 + 9 2 2 = 72

4 ∙ 9 + 9 ∙ 4 = 72

36 + 36 = 72

72 = 72

Logo o ponto faz parte da elipse e podemos partir para o próximo passo.

A equação de uma reta tangente à elipse é dada por x 0 x a 2 +   y 0 y b 2 = 1 . Ajustando a equação de acordo com sua forma alternativa e aplicando os valores do ponto temos:

4 3 x + 9 ( 2 ) y = 72

12 x + 18 y - 72 = 0

12 x + 18 y - 72 = 0 ∙ 1 6

2 x + 3 y - 12 = 0

Resposta

2 x + 3 y - 12 = 0

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