Enunciado

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.

(b) π : x + y + z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

Passo 1

(b) Vamos começar analisando cada equação. O segredo dessa questão é descobrir qual é a posição relativa da reta e do plano.

Olhando para a equação vetorial da reta:

X = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

Dá pra ver que o vetor diretor é:

r → = 1,1 , 1

E olhando para a equação geral do plano:

x + y + z = 0

Lembre que quando a equação geral do plano tem essa forma:

a x + b y + c z + d = 0

O vetor formado por a , b , c é o vetor normal ao plano. Então, olhando para a equação de cima, o vetor n ^ normal a π é:

n ^ = 1,1 , 1

Ou seja, o vetor normal ao plano é igual ao vetor diretor da reta.

Passo 2

Quando temos essa situação, isso quer dizer que a reta é normal ao plano. Vamos ver como fica isso no desenho:

Ok, agora vamos ver como fica a álgebra da situação. Um ponto P 1 qualquer na reta r é:

P 1 = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

E para escrever um ponto P 2 qualquer no plano π , precisamos da equação paramétrica do plano:

x + y + z = 0         ⇒           x = x ' y = y ' z = - x ' - y '

Então o ponto é:

P 2 = x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Agora dá pra calcular a posição P M do ponto médio entre esses dois:

P M = 1 2 P 1 + P 2 = 1 2 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1 + x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

P M = 1 2 λ 1 ,   1 ,   1 + x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Como as constantes x ' , y ' e λ ' são arbitrárias, nós podemos incluir esse 1 / 2 nas constantes:

P M = λ 1 ,   1 ,   1 + x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Passo 3

Agora sim, vamos interpretar essa última equação:

P M = λ 1 ,   1 ,   1 + x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Ela diz que o conjunto de pontos médios que estamos procurando é o conjunto de todos os pontos gerados pela combinação linear desses três vetores de cima.

Então precisamos dar uma olhada nesse conjunto de vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.

Três vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 são linearmente independentes se:

a v → 1 + b v → 2 + c v → 3 = 0

Tem a = b = c = 0 como única solução. No nosso caso a equação é:

a 1,1 , 1 + b 1,0 , - 1 + c 0,1 , - 1 = 0

Essa equação dá um sistema de três equações:

a + b = 0 a + c = 0 a - b - c = 0

Pela primeira e segunda equações:

a + b = 0         ⇒           b = - a

a + c = 0         ⇒           c = - a

Substituindo isso na segunda:

a - - a - - a = 0

3 a = 0         ⇒           a = 0

Ou seja, a única solução é a = b = c = 0 , e os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Ok, mas o que isso tudo significa? Bom, o enunciado queria saber o lugar geométrico gerado pelos pontos médios dos segmentos que vão de π até r .

A gente verificou que os pontos que atendem a essa condição tem essa forma geral aqui:

P M = λ 1 ,   1 ,   1 + x ' 1,0 , - 1 + y ' 0,1 , - 1

Mas já que os vetores são LI (linearmente independentes), esse conjunto aí de cima inclui todos os pontos do espaço.

Ou seja, o lugar geométrico que o enunciado pediu é o E 3 . Inclui todos os pontos do espaço.

Resposta

O lugar geométrico formado pelos pontos médios é E 3 .

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