Enunciado

Sejam u , v ∈ R 2 vetores tais que u , v é uma base do R 2 . Sendo F : R 2 → R n uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:

  1. F u , F v é LI;
  2. dim ⁡ I m F = 1
  3. I m F = 0

Passo 1

Vamos lá! A questão faz uma confusão danada para simplesmente querer que nós chequemos a dimensão da imagem da transformação F .

Se a dimensão da imagem for igual a 2, teremos automaticamente que F u , F v é LI.

Em relação a letra b), não tem nem o que falarmos, ela pede para falar que dim ⁡ I m F = 1 , que é exatamente o que estamos falando.

Por fim, para a letra c), se I m F = 0 , a sua dimensão é exatamente igual a 0.

Portanto, o que temos que mostrar nesta questão é que a dimensão da imagem pode variar entre 0, 1 e 2, a depender da transformação F .

Passo 2

Agora que sabemos o que temos que fazer, fica uma sutil pergunta: como fazer?

Teremos que utilizar o teorema do núcleo e imagem para solucionarmos este problema. Lembrando que a nossa transformação é F : R 2 → R n , pelo teorema, temos:

dim ⁡ R 2 = dim ⁡ ker ⁡ F + dim ⁡ I m F

dim ⁡ I m F = dim ⁡ R 2 - dim ⁡ ker ⁡ F

dim ⁡ I m F = 2 - dim ⁡ ker ⁡ F

Tudo agora dependerá da nossa transformação F e do seu núcleo. Se o núcleo tiver dimensão 0, teremos:

dim ⁡ I m F = 2 - 0 = 2

O que corresponde ao caso da letra a). Já se o núcleo tiver dimensão 1, teremos:

dim ⁡ I m F = 2 - 1 = 1

O que corresponde ao caso da letra b). Por fim, se o núcleo tiver dimensão 2, teremos:

dim ⁡ I m F = 2 - 2 = 0

O que corresponde a letra c).

Vocês podem até se questionar: e se o núcleo tiver dimensão maior que 2, e assim implicaria em uma dimensão negativa da imagem? Bom, o problema é que isto é impossível de ocorrer, pois a dimensão de um espaço vetorial nunca é menor do que 0.

Concluímos assim a questão mostrando que todos os três casos são possíveis de ocorrer. Tudo depende de quem é a transformação F .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja T :R 3 → R 2 uma transformação linear definida por T 1 ,1 ,1 = ( 1 ,2 ) , T 1 ,10 = ( 2 ,3 ) e T 1 ,0 ,0 = ( 3 ,4 ) .a) Determinar T ( x , y , z ) .b) Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( - 3 ,- 2
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. T : P 2 → P 3 com T a 0 + a 1 x + a 2 x 3 = x ( a 0 + a 1 x + a 2 x 3 ) . T : P 2 → P 3 com T p x = p ( x +
Decida se a fórmula T a ,b ,c = a x 2 + b x + c define uma transformação linear injetora de R 3 em P 2 . Explique seu raciocínio.