Enunciado

Interprete o segundo membro de [20-10] como:

  1. Quociente de um volume por uma área;
  2. Comprimento da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Passo 1

Primeiramente, vamos nos lembrar o que a equação [20-10] dizia. Ela é a fórmula utilizada para calcular a distância entre duas retas reversas r e s . A fórmula é:

d r , s = A B → ⋅ r → ∧ s → | | r → ∧ s → | |

Sendo que o vetor A B → é um vetor que tem como representante um segmento orientado que parte de A , ponto pertencente a reta r , e termina em B , ponto pertencente a reta s .

A letra a) nos pede para analisar esta fórmula como um quociente de volume por área. Bom, isto não é muito difícil, a gente só precisa estar seguros com a análise geométrica de um produto misto e um produto vetorial.

Observem que o numerador da fórmula [20-10] é o produto misto entre A B → , r → e s → . Ao estudarmos o produto misto, verificamos que o seu módulo é exatamente o volume de um paralelepípedo de lados dados pelos seus vetores.

Já ao estudar a norma de um produto vetorial, veificamos que ela representa a área do paralelogramo de lados formado pelos vetores.

Portanto, temos:

d r , s = V o l u m e   d e   u m   p a r a l e l e p í p e d o Á r e a   d a   b a s e = Á r e a   d a   b a s e ⋅ A l t u r a   r e l a t i v a   à   b a s e Á r e a   d a   b a s e

d r , s = A l t u r a   r e l a t i v a   à   b a s e

Portanto, a distância é a altura do paralelepípedo relativa à base formada pelos vetores r → e s → .

Passo 2

Para verificarmos a letra b), vamos relembrar a fórmula de projeção de um vetor u → em um vetor v → . Ela será:

P r o j v → u → = u → ⋅ v → v → 2 ⋅ v →

E a norma desta projeção será:

| P r o j v → u → | = | u → ⋅ v → | | v → |

Está parecido com a fórmula [20-10]! Vamos coloca-la lado a lado e comparar.

| u → ⋅ v → | | v → | = A B → ⋅ r → ∧ s → | | r → ∧ s → | |

Se dissermos que o vetor u → é A B → e o vetor v → é r → ∧ s → , temos a nossa relação! Portanto,

d r , s = | | P r o j r → ∧ s → A B → | |

Resposta

  1. A distância é a altura do paralelepípedo relativa à base formada pelos vetores r → e s → .
  2. A distância é a norma da projeção do vetor A B → no vetor r → ∧ s → .
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