Enunciado

Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3.

  1. B = 0,2 , 1
  2. B = 0,0 , 2
  3. B = 3,1 , 0

Passo 1

Vamos lá! Queremos construir uma reta s que dista 3 da reta r . Como estamos falando de distância entre retas, a análise da posição relativa se torna um fator fundamental.

Devemos nos questionar se as retas são paralelas distintas ou reversas. A resposta deste questionamento irá nos dizer qual fórmula devemos utilizar.

E como saberemos isso? A chave da questão está na seguinte pergunta: qual é a distância do ponto B para a reta r ?

Se d B , r = 3 , a reta pode ser tanto paralela distinta quanto reversa. Na grande realidade, não importa a direção da reta reversa, desde que ela esteja contida no plano paralelo a reta r e que contém o ponto B . Portanto, a solução é um plano paralelo a r e que contém B .

Se d B , r > 3 , não podemos ter o caso de retas paralelas, somente o de retas reversas.

E, por fim, se d B , r < 3 , o resultado será o conjunto vazio. Se buscamos a menor distância possível de uma reta para outra, automaticamente, temos que esta distância será menor que 3, então, não satisfará o nosso requisito.

Passo 2

Discutido o passo 1, vamos calcular esta distância entre a reta e o ponto B . Seja A = 3,2 , 1 um ponto pertencente a r , temos:

A B → = B - A = 0,0 , 2 - 3,2 , 1 = - 3 , - 2,1

A B → ∧ r → = i j k - 3 - 2 1 0 1 2 = - 5,6 , - 3

d B , r = | | A B → ∧ r → | | | | r → | | = 5 2 + 6 2 + 3 2 0 2 + 1 2 + 2 2 = 70 5 = 12 = 2 3

Eita! Como d B , r = 2 3 > 3 , não podemos ter o caso de retas paralelas. Teremos somente o caso de retas reversas. Neste caso, também vamos construir um plano π paralelo a reta r .

A diferença agora é que a distância deste plano π até a reta r deve ser igual a 3. Logo, não poderemos obter uma reta perpendicular a r que passa por B para obter o nosso plano. Precisaremos de um artifício diferente.

Passo 3

Sabemos que a nossa solução será dada na forma de um plano π : a x + b y + c z + d = 0 . Também sabemos que este plano é paralelo a r e que contém B = 0,0 , 2 . Portanto, se contém B , temos:

0 + 0 + 2 c + d = 0

d = - 2 c

E se é paralelo a r , temos:

r → ⋅ n → = 0,1 , 2 ⋅ a , b , c = 0

b + 2 c = 0

b = - 2 c

Portanto, o nosso plano π tem o seguinte formato: π : a x - 2 c y + c z - 2 c = 0 . E como faremos para descobrir quem é c e a ? Precisamos de mais uma relação.

Esta relação será exatamente a distância. Portanto,

d r , s = d r , π = d A , π

d A , π = 3 a - 4 c + c - 2 c a 2 + 2 c 2 + c 2 = 3 a - 5 c a 2 + 5 c 2 = 3

3 a - 5 c = 3 a 2 + 5 c 2

9 a 2 - 30 a c + 25 c 2 = 9 a 2 + 45 c 2

20 c 2 + 30 a c = 0

10 c 2 c + 3 a = 0

Então, temos duas possibilidades. Se c = 0 , temos:

π 1 : a x = 0

Ou simplesmente, π 1 : x = 0 . Já se c = - 3 a / 2 , temos:

π 2 : a x + 3 a y - 3 a 2 z + 3 a = 0

π 2 : 2 a x + 6 a y - 3 a z + 6 a = 0

Ou simplesmente, π 2 : 2 x + 6 y - 3 z + 6 = 0 .

Estamos quase lá! Só precisamos subtrair o caso da reta paralela a r da solução, pois os dois planos que obtivemos contém a reta. Portanto, precisamos tirar a reta t : X = 0,0 , 2 + λ 0,1 , 2 da solução.

Portanto, a solução é qualquer ponto X = x , y , z pertencentes ao plano π 1 : x = 0 ou π 2 : 2 x + 6 y - 3 z + 6 = 0 com exceção da reta t .

Resposta

A solução é qualquer ponto X = x , y , z pertencentes ao plano π 1 : x = 0 ou π 2 : 2 x + 6 y - 3 z + 6 = 0 com exceção da reta t .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 1 ,1 ,0B = 2 ,1 ,1s : X = - 1 , - 1 ,6 + λ ( 1 ,4 ,3 )
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )
Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 2 6 de s : X = - 1 ,2 ,3 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) , é concorrente r : X = 1 ,1 ,3 + λ 0 ,1 ,1 e está contida em π : x - z + 1 = 0 .
Os vértices do triângulo ABC são A = 2,1 ,B = 1,4eC = 5,5 . Qual o comprimento da altura baixada de A sobre a base BC?