Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm a origem, dista 2 de s : X = 0 , 1 , 2 + λ 0 , 1,0 e forma ângulos congruentes com t : X = 1 , 1 , 2 + λ 1 , - 1 , 0 e h : X = 2,3 , - 1 + λ 1,1 , 0 .

Passo 1

Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta r que contém um ponto O = 0,0 , 0 , a origem. Portanto, temos a seguinte reta:

r : X = O + λ r →

r : X = λ r →

Vamos dizer que o vetor diretor dessa reta r é dado por r → = a , b , c . Quem são essas incógnitas? Não sabemos ainda, mas iremos saber já!

Passo 2

A primeira informação (conter o ponto) já foi utilizada. Vamos agora utilizar outras informações dadas na questão. Começaremos pela parte de congruência.

Congruência, em outras palavras, é formar os mesmos ângulos. Portanto,

θ = a n g r , t = a n g r , h

Mas sabemos que o cosseno do ângulo entre duas retas é dado pela seguinte expressão:

cos ⁡ θ = P r o d u t o   i n t e r n o   d o s   v e t o r e s   d i r e t o r e s   d a s   r e t a s P r o d u t o   d a   n o r m a   d o s   v e t o r e s   d i r e t o r e s

Portanto,

cos ⁡ θ = r → ⋅ t → | | r → | | ⋅ | | t → | | = r → ⋅ h → | | r → | | ⋅ | | h → | |

Desenvolvendo esta relação, temos:

r → ⋅ t → | | t → | | = r → ⋅ h → | | h → | |

a , b , c ⋅ 1 , - 1,0 1 2 + - 1 2 + 0 2 = a , b , c ⋅ 1,1 , 0 1 2 + 1 2 + 0 2

a - b 2 = a + b 2

a - b = a + b

Temos duas possibilidades:

a - b = - a + b a - b = a + b ⟹ a = 0 b = 0

Portanto, temos duas possibilidades de vetor diretor: r → 1 = 0 , b , c e r → 2 = a , 0 , c .

Passo 3

Vamos partir para a última relação: distância da reta até a reta s é igual a 2.

Aqui é um pouco mais complicado pois a posição relativa entre as retas é um fator a ser considerado na hora de escolher a fórmula.

Para isto, vamos dividir a nossa análise no caso dos dois vetores diretores obtidos anteriormente. Começaremos por r → 1 = 0 , b , c .

Este vetor pode ser paralelo a s → = 0,1 , 0 . Para isto, basta fazer c = 0 . Vamos verificar se a reta r , passando pela origem e com vetor diretor 0,1 , 0 dista 2 da reta s . Portanto,

d r , s = d O , s = | | O A → ∧ s → | | | | s → | |

Sendo A um ponto qualquer de s . Escolheremos A = 0,1 , 2 pois já nos foi dado no enunciado da questão. Agora, é só repetir o que já fizemos bastante nesta questão. Portanto,

O A → = A - O = 0,1 , 2 - 0,0 , 0 = 0,1 , 2

O A → ∧ s → = i j k 0 1 2 0 1 0 = - 2 i = - 2 , 0 , 0

Portanto,

d r , s = d O , s = | | O A → ∧ s → | | | | s → | | = - 2 2 + 0 2 + 0 2 0 2 + 1 2 + 0 2 = 4 1 = 2

E assim, satisfaz o critério da questão! Portanto, a nossa primeira possibilidade de resposta é:

r 1 : X = λ 0,1 , 0

Agora, vamos checar se a reta r com um vetor da forma r → 1 = 0 , b , c é reversa com a reta s . Se isto for possível o produto misto O A → , r → 1 , s → deve ser diferente de zero. Calculando-o, verificamos que isto é impossível, pois:

O A → , r → 1 , s → = 0 1 2 0 b c 0 1 0 = 0

O produto misto sempre é igual a 0 (primeira coluna é zero). Automaticamente, a reta r com vetor diretor do tipo r → 1 = 0 , b , c nunca poderá ser reversa com s !

Passo 4

Agora, vamos repetir o que fizemos no passo anterior, só que com o vetor r → 2 = a , 0 , c .

Com este vetor, percebam que as duas retas nunca poderão ser paralelas distintas. Percebam que os dois vetores r → 2 = a , 0 , c e s → = 0 , 1 , 0 não podem ser paralelos de forma alguma! Portanto, as duas retas são reversas e a sua distância é dada por:

d r , s = O A → , r → 2 , s → | | r → 2 ∧ s → | | = 2

Repetindo os cálculos, só que para um vetor r → 2 = a , 0 , c diferente, temos:

O A → , r → 2 , s → = 0 1 2 a 0 c 0 1 0 = 2 a

r → 2 ∧ s → = i j k a 0 c 0 1 0 = - c i + a k = - c , 0 , a

Substituindo na relação de distância, temos:

d r , s = O A → , r → 2 , s → | | r → 2 ∧ s → | | = 2 a - c 2 + 0 2 + a 2 = 2 a a 2 + c 2 = 2

Precisamos agora resolver a equação do segundo grau associada. Portanto,

2 a a 2 + c 2 = 2

2 a = 2 a 2 + c 2

Iremos elevar ao quadrado ambos os membros para eliminar o módulo e raiz. Portanto,

4 a 2 = 4 a 2 + c 2

c 2 = 0

c = 0

Portanto, temos o vetor r → 2 = a , 0 , c = a , 0,0 = a 1,0 , 0 . Por fim, a segunda reta que satisfaz a questão será:

r 2 : X = λ 1 , 0 , 0

Resposta

r 1 : X = λ 0,1 , 0

r 2 : X = λ 1,0 , 0

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