Enunciado

Sejam A = 1 ,   1 ,   2 ,   B = 0 ,   1 ,   2 ,   C = ( 1 ,   1 ,   0 ) e D = 0 ,   1 ,   0 , em relação a um sistema ortogonal de coordenadas de origem O .

(c) Supondo que a área da sombra seja 8, determine seus vértices e obtenha uma equação geral de π 1 .

Passo 1

Para começarmos a nossa resolução, vamos ter que, novamente, tomar como base a figura que ilustra o enunciado:

Passo 2

Primeiramente, devemos notar que O A ' → é um múltiplo de O A → , uma vez que estão contidos em uma mesma reta, e que esta reta passa pela origem O . Essa constatação pode ser generalizada para todos os vetores do sólido.

Passo 3

Assim, basta aplicarmos a relação de semelhança entre as áreas A A B C D e A A ' B ' C ' D ' , e os lados da figura A B → e A ' B ' → , para obtermos a tal constante escalar. Contudo, vamos considerar aqui A A B C D = 2 e A B → = 1 , resultados obtidos tranquilamente, já que temos todos os pontos envolvidos. Temos, então:

A A B C D A A ' B ' C ' D ' = A B → A ' B ' 2

2 8 = 1 A ' B ' 2

A ' B ' → = 2

Ou seja, percebemos que o lado foi aumentado duas vezes. Portanto, a constante vale 2 😉.

Passo 4

Assim, devemos aplicar a constante a todos os pontos da figura, para obtermos suas respectivas projeções:

A ' = 2 ,   2 ,   4

B ' = 0 ,   2 ,   4

C ' = 2 ,   2 ,   0

D ' = ( 0 ,   2 ,   0 )

Passo 5

Por fim, sabemos que, devido aos planos π e π 1 serem paralelos, suas equações seguem o MESMO FORMATO, variando apenas a constante. Ou seja, o plano π 1 é definido por y + λ = 0 . Para encontrarmos λ , basta substituirmos por qualquer ponto do plano, assim como fizemos no item (a), escolhendo A ' = ( 2 ,   2 ,   4 ) , temos λ = - 2 .

Logo, o plano é definido por:

π 1 : y - 2 = 0 .

Resposta

As projeções têm coordenadas A ' = 2 ,   2 ,   4 ,   B ' = 0 ,   2 ,   4 ,   C ' = ( 2 ,   2 ,   0 ) e D ' = 0 ,   2 ,   0 , e o plano é definido por π 1 : y - 2 = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3 , - 2,8 ) e seja paralela ao plano z = x + y .
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3,5 , - 1 ) e contenham a linha x = 4 - t , y = 2 t - 1 , z = - 3 t .
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 5,3 , 5 ) e seja perpendicular ao vetor ( 2,1 , - 1 ) .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 3,0 , - 1 , ( - 2 , - 2,3 ) e ( 7,1 , - 4 ) .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 2,1 , 2 , ( 3 , - 8,6 ) e ( - 2 , - 3,1 ) .