Enunciado

Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que a soma de suas distâncias aos pontos ( 4 ,   - 1 )   e ( 4 ,   7 )   seja sempre 12 .

Passo 1

Cara, lembra qual a definição de elipse?

Vamos dar uma lembrada:

“Elipse é um conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante”

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 2 . a

Olha só, dá super pra colocarmos essa definição aplicada no nosso enunciado, quer ver?

Vamos chamar o nosso ponto que se move de ponto P , F 1 = ( 4 ,   - 1 ) e F 2 = ( 4 ,   7 )

Pelas informações do enunciado, temos

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 12 = 2.6

Ihuuu então o lugar geométrico que queremos encontrar é uma elipse!! Agora vamos encontrar sua equação, já sabemos que a = 6 !!

Passo 2

Os focos da nossa elipse são F 1 = ( 4 ,   - 1 ) e F 2 = ( 4 ,   7 ) , então ela tem centro

C = ( 4 ,   y )

Lembrando que os focos são C ± c , temos que y é - 1 + c e também 7 - c , então:

- 1 + c = 7 - c

2 c = 8

c = 4

Então nosso centro é

C = ( 4 ,   - 1 + 4 )

C = ( 4 ,   3 )

Passo 3

Sabendo a e c , vamos encontrar b :

a 2 = b 2 + c ²

6 2 = b 2 + 4 ²

b 2 = 36 - 16

b 2 = 20

Passo 4

Repara que o x dos focos que não mula, então isso nos diz que a elipse é “em pé”, ou seja, o eixo focal é paralelo ao eixo y .

A equação de uma elipse com centro ( h ,   k ) é

x - h 2 b 2 + y - k 2 a 2 = 1

O nosso centro é ( 4 ,   3 ) , a 2 = 36 , b 2 = 20 , então a equação da nossa elipse é

x - 4 2 20 + y - 3 2 36 = 1

Arrumando um pouco:

9 x - 4 2 9 20 + 5 y - 3 2 5 36 = 1

9 x 2 - 8 x + 16 + 5 y 2 - 6 y + 9 120 = 1

9 x 2 - 72 x + 144 + 5 y 2 - 30 y + 45 = 120

9 x 2 + 5 y 2 - 72 x - 30 y + 9 = 0

Resposta

9 x 2 + 5 y 2 - 72 x - 30 y + 9 = 0

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