Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

x 2 - y 2 + 6 x + 10 y - 4 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

x 2 + 6 x + 9 - y 2 + 10 y - 25 - 4 = 0 + 9 - 25

x 2 + 6 x + 9 - ( y 2 + 10 y + 25 )   = - 1 2

x + 3 2 - y - 5 2 = - 1 2

- x + 3 2 12 + y - 5 2 12 = 1

y - 5 2 12 - x + 3 2 12 = 1

Desta forma temos que o centro é - 3 ,   5 . Além disso a 2 =   b 2 = 12 que nos dão os valores dos eixos a = b = 2 3 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = - 3 ,   5 + 2 3

V 2 = - 3 ,   5 - 2 3

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

12 + 12 = c 2

24 = c

2 6 = c

F 1 = - 3 ,   5 + 2 6

F 2 = - 3 ,   5 - 2 6

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : x + 3 = 2 3 2 3 ( y - 5 )

f y : x = y - 8

g y :   x + 3 = - 2 3 2 3 ( y - 5 )

g y : x = - y + 2

Resposta

C = - 3 ,   5

V 1 = - 3 ,   5 + 2 3

V 2 = - 3 ,   5 - 2 3

F 1 = - 3 ,   5 + 2 6

F 2 = - 3 ,   5 - 2 6

f y : x = y - 8

g y : x = - y + 2

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