Enunciado

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

17 x 2 + 12 x y + 8 y 2 - 10 x + 20 y + 5 = 0

Passo 1

A questão pede para escrevermos a equação da cônica em um novo sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, temos que lembrar que a parte quadrática da equação pode ser escrita como

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

O que temos que fazer é achar um novo sistema de coordenadas x ' ,   y ' em que a matriz é diagonal. Para isso, temos que achar seus autovalores e autovetores!

Neste caso, a equação é

17 x 2 + 12 x y + 8 y 2 - 10 x + 20 y + 5 = 0

Olhando apenas para a parte quadrática:

17 x 2 + 12 x y + 8 y 2 = x y   17 6 6 8   x y

Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:

17 - λ 6 6 8 - λ = 0

Assim,

17 - λ 8 - λ - 36 = 0

Portanto,

136 - 17 λ - 8 λ + λ 2 - 36 = 0 ⇒ λ 2 - 25 λ + 100 = 0

Resolvendo a equação:

λ = 25 ± 625 - 400 2 = 25 ± 15 2

Chegamos então nos autovalores:

λ 1 = 5               e           λ 2 = 20

Assim, no sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   5 0 0 20   x ' y ' = 5 x ' 2 + 20 y ' 2

Passo 2

O próximo passo é achar os autovetores associados. Para λ 1 = 5 , temos

12 6 6 3 a b = 0 0 ⇒ 2 a + b = 0 ⇒ b = - 2 a

Portanto,

v 1 = a ,   b = a ,   - 2 a = a   ( 1 ,   - 2 )

Para que ele seja normalizado, escolhemos a = 1 / 5 :

v 1 = 1 5 ,   - 2 5

Já para λ 2 = 20 :

- 3 6 6 - 12 a b = 0 0 ⇒ a - 2 b = 0 ⇒ a = 2 b

Logo,

v 2 = a ,   b = 2 b ,   b = b   ( 2 ,   1 )

Escolhendo b = 1 / 5 :

v 2 = 2 5 , 1 5

Passo 3

Os autovetores serão as colunas da matriz de mudança de base, de modo que podemos escrever:

x y = 1 5 2 5 - 2 5 1 5 x ' y ' ⇒ x = x ' 5 + 2 y ' 5             e           y = - 2 x ' 5 + y ' 5

Com essas transformações, a equação da cônica é reescrita como

5 x ' 2 + 20 y ' 2 - 10   x ' 5 + 2 y ' 5 + 20   - 2 x ' 5 + y ' 5 + 5 = 0

Assim,

5 x ' 2 + 20 y ' 2 - 50 x ' 5 + 5 = 0

Vamos completar quadrados para a parte com x ' :

5 x ' 2 - 50 x ' 5 = 5 x ' 2 - 10 x ' 5 + 5 - 5 = 5 x ' - 5 2 - 25

Portanto,

5 x ' - 5 2 - 25 + 20 y ' 2 + 5 = 0

Logo,

5 x ' - 5 2 + 20 y ' 2 = 20 ⇒ x ' - 5 2 4 + y ' 2 1 = 1

Por fim, vamos redefinir as variáveis por uma translação:

x ' - 5 → X             e           y ' → Y

Portanto,

X 2 4 + Y 2 = 1

Trata-se de uma elipse, cujo esboço é dado a seguir:

Resposta

X 2 4 + Y 2 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identificar as seguintes cônicas: x 2 - y 2 = 1
Identificar as seguintes cônicas: x 3 + y 2 = 1
Identificar as seguintes cônicas: y - 3 x 2 = 0
Identificar as seguintes cônicas: 2 x 2 + 3 y 2 = 6
Mostrar que as seguintes equações representam duas retas no plano: 4 x 2 - y 2 = 0