Enunciado

Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e:

  1. tangente ao plano y O z .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos o centro C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e sabemos que essa esfera é tangente ao plano y O z . Isso significa que a distância do centro até o plano y O z (ou seja, a coordenada x   do ponto) é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: identificar a coordenada x do ponto do centro e assim achamos o r . E com o centro C e o raio r , substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis, reorganizar os termos e é só =D

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro a coordenada x do centro: C 2 ,   - 3 ,   4 . Aqui temos que x = 2 , então r = 2 .

Passo 3

Pronto! Agora vamos juntar o centro C h , k , l = C ( 2 ,   - 3 ,   4 ) e r = 2 e substituir na equação geral.

Resgatando lá do passo 1 a equação geral temos:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Agora é só substituir:

x - 2 2 + y + 3 2 + z - 4 2 = 4

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 + z 2 - 8 z + 16 - 4 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 25 = 0

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 25 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 8 z + 25 = 0

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Obtenha equações da reta perpendicular ao plano π = 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 , que contém um diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .
Determine o diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0 que é perpendicular ao plano π : x - y - 2 = 0 .
Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .
Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z
Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).