Enunciado

Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).

Passo 1

Bom pessoal, o primeiro passo é melhorar essa equação da esfera. Para isso vamos usar o método de completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0

Dá uma olhada nos termos com x por exemplo:

x 2 - 6 x

Parecem muito com um produto notável que a gente conhece:

x - 3 2 = x 2 - 6 x + 9

Então se somarmos 9 dos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 + 9 = 9

x - 3 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 10 z - 62 = 9

Agora é só fazer a mesma coisa com os outros:

y + 2 2 = y 2 + 4 y + 4

Então vamos somar 4 dos dois lados:

x - 3 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 10 z - 62 + 4 = 9 + 4

x - 3 2 + y + 2 2 + z 2 - 10 z - 62 = 13

E para o z :

z - 5 2 = z 2 - 10 z + 25

Então vamos somar 25 dos dois lados:

x - 3 2 + y + 2 2 + z 2 - 10 z - 62 + 25 = 13 + 25

x - 3 2 + y + 2 2 + z - 5 2 - 62 = 38

x - 3 2 + y + 2 2 + z - 5 2 = 100

Ok, agora fica mais fácil de trabalhar com a equação.

Passo 2

A nossa ideia é encontrar a menor distância de P até algum ponto na superfície da esfera.

Mas é muito complicado encontrar uma forma “geral” para os pontos na superfície da esfera! Então primeiro vamos encontrar a distância de P até o centro da esfera.

Lembrando que se a esfera tem raio r e centro em x 0 , y 0 , z 0 , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então no nosso caso:

x - 3 2 + y + 2 2 + z - 5 2 = 100

r = 10

C = 3 ,   - 2 ,   5

E a distância de P = 1 , - 1,3 até o centro é:

d = 1 - 3 2 + - 2 - - 1 2 + 5 - 3 2

d = - 2 2 + - 1 2 + 2 2

d = 3

Dá uma olhada nesse desenho para entender o que isso quer dizer:

Passo 3

Mas o que o enunciado pediu foi a distância entre P e a superfície da esfera.

Ou seja, queremos a distância entre P e esse ponto vermelho no desenho:

Pelo desenho dá pra ver que podemos calcular essa distância com essa conta aqui:

d ' = d - r

d ' = 3 - 10

d ' = - 7

E o que quer dizer esse sinal negativo? Quer dizer que o nosso ponto P estava, na verdade, no interior da esfera.

Mas isso não tem problema, é só considerar o módulo do valor calculado, então menor distância é:

d ' = 7

Resposta

A distância de P até a superfície esférica é 7 .

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Demonstre a Proposição 24-27
Obtenha equações da circunferência de centro 1 , - 1 , - 2 que determina uma corda de comprimento 8 sobre a reta interseção dos planos π 1 : 2 x - y + 2 z - 12 = 0 e π 2 : 4 x - 7 y - z + 6 = 0 .
Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos: P = 3 , - 1 , - 2 , Q = 1,1 , - 2 e R = - 1,3 , 0 . P , Q e R são os pontos de interseção do plano π : 3 x + 2 y + 6 z = 6
Nas condições da proposição anterior:Exprima d C 1 , π em função de ρ 1 , ρ 2 , δ ;Mostre que d C 1 , π ≤ d ( C 2 , π ) (dos dois centros, o mais próximo de π é o da superfície esférica menor);Seja N
Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos: P = 3 , - 1 , - 2 , Q = 1,1 , - 2 e R = - 1,3 , 0 . P , Q e R são os pontos de interseção do plano π : 3 x + 2 y + 6 z = 6